Hipótesis de Riemann

¿Qué es una serie?

En matemáticas serie infinita o simplemente serie, es la suma de una sucesión infinita de términos, (a1, a2, a3, …),

{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{2} + \cdots \.

Se puede representar de forma alternativa usando el símbolo sumatorio

\sum\limits_{i=1}^{\infty}{{a}_{i}} \.

Aunque los términos pueden ser varios tipos de entidades matemáticas vamos a centrarnos en series cuyos términos sean números reales.

Suma de una serie

Está claro que el significado del término suma no puede ser el mismo que el que usamos por ejemplo al realizar la suma 2 + 2, ya que en una serie al ser el número de sumandos infinito nunca acabaríamos de sumar, al menos en un tiempo finito.  Esta idea de sumar los términos de una serie resultó problemática para matemáticos y filósofos durante muchos siglos como  puso de manifiesto Zenón de Elea con su famosa paradoja de Aquiles y la tortuga.
En el siglo XIX los matemáticos resolvieron el problema introduciendo el concepto de límite.

Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2
Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2

Para acercarnos a la idea de límite consideremos la serie

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \.

Calculemos las sumas parciales de sus términos,
Si sumamos los 2 primeros,

1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \.

Sumando los 3 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{7}{4} \.

Sumando los 4 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = \frac{15}{8} \.

Se puede deducir fácilmente que la suma de los n primeros términos es

\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}} \

que  podemos escribir

2\left({1-\frac{1}{{2}^{n}}}\right) \.

A medida que n se hace más grande, el segundo término de la resta, \frac{1}{{2}^{n}} \, se hace  más pequeño y consecuentemente, la suma se acerca a 2.
El que la diferencia entre la suma de los n primeros términos de la serie y 2 la podamos hacer tan pequeña como queramos sin mas que aumentar el valor de n, es la idea fundamental que está detrás de la definición de 2 como límite, o suma, de la serie.

Cuando esto sucede y existe un límite se dice que la serie es convergente. Si no existe un límite como por ejemplo en la serie

1+2+3+\cdots \

la serie se denomina divergente.

— Continuará —