¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?

De Morgan en A Budget of Paradoxes cuenta la siguiente anécdota:

Tuve un amigo interesado en todo lo relacionado con la mortalidad, seguros de vida, etc. Un día, explicándole cómo debería determinarse la probabilidad de que el número de supervivientes de un grupo de personas, al cabo de un cierto tiempo se encuentre entre ciertos limites, llegué, por supuesto, a la introducción de pi, que solo pude describir como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. -¡Oh, mi querido amigo! Eso debe ser un error, ¿qué tiene que ver un círculo con el número de vivos?

La extrañeza mostrada por el amigo de De Morgan la mostraría mucha gente ya que habitualmente se asocia el número π exclusivamente con la relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El número π podría definirse de otras muchas maneras ya que aparece en matemáticas en situaciones sorprendentemente diversas. A continuación se muestran algunas de ellas:

La aguja de Buffon

Georges Louis Leclerc(1707-88), Conde de Buffon fue un naturalista francés autor de una Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento científico con un fin eminentemente divulgativo. Buffon estudió un problema de probabilidad geométrica que hoy es conocido como «La aguja de Buffon»:
Si se lanza una aguja de longitud L sobre una superficie horizontal en la que hay dibujadas lineas paralelas equidistantes una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una de las líneas está relacionada con el número pi.

Para el caso, más sencillo, en que la longitud de la aguja, L, es menor o igual que la separación entre las líneas, D, la probabilidad, p, de que la aguja corte a una de las líneas viene dada por,

$p = \frac{2 L}{\pi D}$

Si lanzamos la aguja N veces y C es el número de cortes,

la probabilidad será $p = \frac{C}{N}$ y por tanto $\pi = \frac{2 L N}{D C}$

En el programa incrustado a continuación se simula el lanzamiento de la aguja de Buffon.

Euler, Riemann, Basilea, probabilidad y π

La probabilidad de que que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si es 6/π².

Ross Honsberger, que lo menciona en su libro Ingenuity in Mathematics, cuenta la sensación que le produjo el descubrimiento de esta peculiar relación:

Esto simplemente me asombró. Que una elección aleatoria de pares de enteros positivos pudiese tener algo que ver con pi estaba más allá de mi imaginación. La perspectiva de determinar realmente el valor de pi a través de un experimento de ensayos repetidos -en el que el generador de los pares de enteros no tiene idea de para qué se van a utilizar- parecía completamente increíble.

¿Cómo se puede determinar la probabilidad de que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si?

Que sean primos entre si significa que no tienen divisores primos comunes. No pueden ser divisibles simultáneamente por 2, ni por 3, ni por 5, ni por ningún factor primo.

La probabilidad de que uno de los dos sea divisible por 2 es 1/2 ya que la mitas de los enteros son pares. La probabilidad de que ambos sean divisibles por 2 es entonces 1/2² y la probabilidad de que NO sean ambos divisibles por dos será, 1-1/2².

Repitiendo el argumento para 3, la probabilidad de que no sean ambos divisibles por 3 será 1-1/3², y la probabilidad de que no sean ambos divisibles ni por 2 ni por 3 será por tanto el producto de las dos probabilidades,

$\left (1-\frac{1}{2^2} \right ) \left (1-\frac{1}{3^2} \right )$

Siguiendo el razonamiento con los demás números primos,

$\left (1-\frac{1}{2^2} \right ) \left (1-\frac{1}{3^2} \right ) \left (1-\frac{1}{5^2} \right ) \left (1-\frac{1}{7^2} \right )...$

La expresión queda un poco más compacta utilizando el productorio. La probabilidad buscada será entonces,

$Probabilidad = \prod\limits_{p{\text{ primo}}} \left( 1 - \frac{1}{p^2} \right)$

La expresión obtenida resultará familiar si se conoce la relación que estableció Euler entre la función zeta y los números primos, denominada Producto de Euler,

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

Esta relación entre los enteros y los primos abrió el camino que llevó a Riemann, más de 100 años después, a formular su famosa hipótesis sobre la distribución de los número primos.

Si a s se le da el valor 2, se observa que el miembro derecho es el inverso de la probabilidad buscada,

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-2}}}$

$\frac{1}{Probabilidad}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-2}}}$

Encontrar el valor del miembro izquierdo, en el Producto de Euler, cuando s=2, es el famoso Problema de Basilea,

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}} + \cdots = \text{?}$

La respuesta la dio también Euler en 1735 después de que ni los Bernoulli, ni ningún otro de los matemáticos de la época lo hubiese conseguido,

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\frac{\pi^{2}}{6}$

De ahí se llega al valor de la probabilidad buscada, 6/π²

Otras apariciones de π

En el libro citado de Honsberger también se menciona que,

La probabilidad de que dos números x e y, ambos menores que 1, escogidos al azar, junto con la unidad, formen un trío de números (x,y,1) que sean los lados de un triángulo obtusángulo es (π-2)/4

En 1656 John Wallis, que enseñaba geometría en Oxford, encontró que:

${\frac{\pi}{2}={\frac {2}{1}}\cdot{\frac {2}{3}}\cdot{\frac {4}{3}}\cdot{\frac {4}{5}}\cdot{\frac {6}{5}}\cdot{\frac {6}{7}}\cdot\frac {8}{7}}\cdot{\frac {6}{9}}\cdots$

William Brouncker en 1655 descubrió esta curiosa fracción continua:

${\frac 4\pi }=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}$

Una de las series más sencillas relacionadas con π es la de Gregory-Leibniz:

$\frac{\pi}{4}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\cdots$

Para terminar, una sorprendente fórmula de Ramanujan, que además converge muy deprisa. Cada término de la serie añade 8 cifras correctas. En 1985 Gosper la uso para batir el récord de cifras de π: 17 millones,

$\frac{1}{\pi}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\times\frac{26390n + 1103}{396^{4n}}$

Para n=0 se obtiene para π el valor 3,14159273 (pi = 3,14159265…)

Más información

De Morgan, Augustus. 1872. A Budget of Paradoxes. (London: Longmans and Green)
Zhúkov, A.V. 2005. El Omnipresente número π. (Moscú: URSS)

Sobre la aguja de Buffon

H. Dorrie. 1965. Great Problems of Elementary Mathematics : Their History and Solution (New York: Dover

Sobre Euler y el problema de Basilea

Dunham William. 2002. Viaje a Través de los Genios. (Madrid: Pirámide)
Yaglom A.M. y Yaglom, I.M. 1987. Challenging Mathematics Problems with Elementary Solutions Vol. I. (New York: Dover)

Sobre Probabilidad y π

Honsberger, Ross. 1970. Ingenuity in Mathematics. (New Haven: Yale University)
Hay edición en español: Honsberger, Ross. 1994. El Ingenio en las Matemáticas. (Madrid: DLS-Euler)

Ramanujan y pi

Borwein,J.M., Borwein, P.B. Ramanujan y el número pi. Investigación y Ciencia. 1988. nº 139.

Publicado también en:

Borwein, J.M., Borwein, P.B. 1995. Srinivasa Ramanujan. Grandes Matemáticos . Col. TEMAS nº 1. Pags. 120-128. Investigación y Ciencia. (Barcelona: Prensa científica)