Reto 3
Demostrar que la serie armónica es divergente (Su suma no tiene límite)
Solución
El método utilizado por Nicolas de Oresme en 1350 para demostrar la imposibilidad de sumar la serie armónica es el siguiente:
Se agrupan los términos como se indica:
![S_{a} = 1 + \left[\dfrac{1}{2}\right] + \left[\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right] + \left[\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\right]+\cdots \](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Ba%7D+%3D+1+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright%5D+%2B++++%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B6%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B7%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Cright%5D%2B%5Ccdots+%5C&bg=ffffff&fg=000&s=2&c=20201002)
Se construye otra serie a partir de la primera cambiando los elementos de cada grupo por el elemento menor del mismo:
![S_{b} = 1 + \left[\dfrac{1}{2}\right] + \left[\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right] + \left[\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right]+\cdots \](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bb%7D+%3D+1+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright%5D+%2B++++%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Cright%5D%2B%5Ccdots+%5C&bg=ffffff&fg=000&s=2&c=20201002)
Es evidente que
![S_{b} = 1 + \left[\dfrac{1}{2}\right] + \left[\dfrac{1}{2}\right] + \left[\dfrac{1}{2}\right]+\cdots \](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bb%7D+%3D+1+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D+%2B+%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D+%2B++++%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D%2B%5Ccdots+%5C&bg=ffffff&fg=000&s=2&c=20201002)
es divergente. Por tanto 