Física y montañas rusas

montaña rusa
Montaña rusa en Port Avenntura

Las montañas rusas son unos objetos estupendos para estudiar física, especialmente las leyes de la mecánica.

La conservación de la energía

Inicialmente se arrastra el vagón, que carece de tracción propia, hasta la parte más elevada de la montaña rusa. Esta separación de la Tierra produce un aumento de la energía potencial gravitatoria del vagón. Al dejarlo en libertad, el vagón desciende aumentando progresivamente su velocidad. En términos energéticos su energía potencial gravitatoria se va transformando en energía cinética, la energía asociada al movimiento de los cuerpos, salvo una pequeña parte que se transforma en calor debido al rozamiento que ejercen el aire y las vías. En los tramos ascendentes, sucede lo contrario la velocidad disminuye a medida que el vagón gana altura aumentando por tanto la energía potencial gravitatoria a costa de la energía cinética. Una pequeña parte de esa energía cinética de nuevo se transforma en calor debido al rozamiento.

Velocidad,  aceleración y fuerza

Uno de los aspectos que se tienen en cuenta al diseñar una montaña rusa es la fuerza que el vagón ejerce sobre los pasajeros. Esta fuerza no es constante sino que está relacionada con como va cambiando la velocidad del vagón, y por tanto de los pasajeros, a lo largo del recorrido. Es el aumento o disminución de esta fuerza, en relación con la que se experimenta en reposo o con velocidad constante, lo que hace que montarse en una montaña rusa sea atractivo para mucha gente. Este cambio de velocidad con el tiempo, que puede ser en su magnitud o en su dirección, es lo que se llama aceleración.

En los tramo horizontales, sin tener en cuenta el rozamiento, la velocidad no cambia por tanto no hay aceleración. La fuerza neta que actúa sobre la persona es cero. La fuerza que hace el vagón hacia arriba sobre la persona es igual a la fuerza que hace la Tierra hacia abajo, el peso de la persona.

En los tramos curvos horizontales, en los rectos no horizontales y en los curvos no horizontales hay aceleración ya que cambia respectivamente la dirección de la velocidad, la magnitud de la velocidad o ambas. La fuerza neta que actúa sobre el vagón es proporcional a la aceleración y se representa en la figura en varios puntos del recorrido.

Fuerza neta en distintos tramos de una montaña rusa
Fuerza neta en distintos tramos de una montaña rusa

Bucles

La forma de los tramos que forman una montaña rusa es diversa y no suele faltar uno con forma de bucle vertical.

Cuando un objeto describe un movimiento curvo pueden actuar varias fuerzas sobre él pero es necesario que la suma de todas ellas esté dirigida hacia el interior de la curva que describe. Si esta fuerza neta es perpendicular a la curva la velocidad solo cambia de dirección, en caso contrario la velocidad aumenta o disminuye su magnitud como se ve en la figura.

Fuerza neta y cambio de la magnitud de la velocidad
Fuerza neta y cambio de la magnitud de la velocidad

Esta fuerza neta se puede descomponer en dos, una perpendicular a la curva y otra tangente, de tal forma que sumadas equivalen a la primera.

Componentes de la fuerza neta y cambio de la magnitud de la velocidad
Componentes de la fuerza neta y cambio de la magnitud de la velocidad

La fuerza perpendicular a la curva se denomina fuerza centrípeta y es directamente proporcional a la masa del objeto en movimiento y al cuadrado de la magnitud de la velocidad  e inversamente proporcional al radio de curvatura.

F_{c}=\frac{mv^{2}}{r}

Normalmente la fuerza centrípeta la hace  en parte el raíl por el que circula el carro y en parte la Tierra.

¿Por qué no suele haber bucles verticales circulares en las montañas rusas?

Contestemos previamente a la siguiente pregunta:

¿Cuál  es la mínima velocidad a la que se puede entrar en un bucle vertical circular para describirlo completamente?

Cuando se entra con esta velocidad mínima, la  fuerza centrípeta en la parte superior del bucle también será mínima. Para que esto suceda el raíl en la parte superior no debe hacer fuerza sobre el vagón y la fuerza centrípeta en la parte superior la hará exclusivamente la Tierra: sera  el peso del vagón, mg. De este hecho se puede deducir la velocidad del vagón en este punto:

F_{c}=\frac{mv^{2}}{r}=mg

y despejando

v=\sqrt{gr}

Haciendo uso de la conservación de la energía se deduce la velocidad en el  punto de entrada al bucle . La energía cinética a la entrada se convierte en parte en energía potencial gravitatoria al llegar al punto más alto.

Conservación de la energía
Conservación de la energía

\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}=mgh_{2}+\frac{1}{2}m{v_{2}}^2

teniendo en cuenta que h=2r y que v_{2}=\sqrt{gr}

despejamos v_{1}=\sqrt{5gr}

Si esta es la velocidad de entrada, la fuerza centrípeta en la entrada será:

F_{c}=5mg

Como la Tierra hace en ese punto una fuerza hacia abajo, mg, para que la fuerza centrípeta sea 5mg el raíl tiene que hacer una fuerza de 6mg sobre el vagón.

La sensación que esto produciría en un viajero es la misma que si su peso se multiplicase por 6. Sucedería además en un breve espacio de tiempo, en la entrada en el bucle.

Cambio rápido de la fuerza que actúa sobre el vagón
Cambio rápido de la fuerza que actúa sobre el vagón

El cambio de aceleración en relación al tiempo se denomina sobreaceleración y en este caso adopta un valor elevado ya que la aceleración del vagón cambia bruscamente. A muchas personas este cambio tan brusco  les produciría una sensación muy desagradable. Para evitar esto los diseñadores de montañas rusas hacen uso de las propiedades de una interesante curva:

La clotoide

La clotoide, también llamada espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva que se caracteriza por que su curvatura cambia linealmente conforme nos desplazamos por ella. La curvatura es una medida de lo que una curva se diferencia de una recta y se define como la inversa del radio de curvatura.

Clotoide y arco
Clotoide y arco

Esta forma de cambiar la curvatura la hace adecuada para los bucles verticales de las montañas rusas así como para los cambios de dirección en carreteras. Al conducir por un arco de clotoide la velocidad angular a la que hay que girar el volante es constante.

Cambio de dirección con clotoide
Cambio de dirección con arco de clotoide

Los bucles de las montañas rusas suelen estar formados por dos arcos de clotoide unidos como se ve en la figura.

clotoides
Clotoides

En este tipo de bucles la aceleración centrípeta, además de ser en general más baja que en los circulares, cambia mucho menos con lo que la sobreaceleración es mucho más baja y las sensaciones desagradables(no para todos) también.

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