Legislando sobre Pi

Legislando sobre Pi
Legislando sobre Pi

En 1897 la Cámara de Representantes del estado de Indiana aprobó por unanimidad el proyecto de ley nº 246 de la legislatura en cuyo preámbulo se puede leer:

Un proyecto de ley que  presenta una nueva verdad matemática y la ofrece como una contribución a la educación que solamente podrá usar el estado de Indiana sin tener que pagar ningún tipo de derechos, siempre y cuando se apruebe en la actual legislatura de 1897.”

Los políticos son gente muy ocupada y ante tal ofrecimiento no vieron ninguna razón para no aceptarlo. Si hubiesen seguido leyendo quizás se hubiesen sorprendido un poco. En la sección 3 se afirmaba:

Una prueba más del valor de la contribución propuesta por el autor a la educación, y ofrecida como regalo al Estado de Indiana, es el hecho de que sus soluciones de la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y cuadratura (del círculo) han sido aceptadas como contribuciones a la ciencia por la American Mathematical Monthly, el máximo exponente del pensamiento matemático en este país. Y recuérdese además que las instituciones científicas hace tiempo que se han rendido ante estos problemas por ser misterios insondables que están por encima de la capacidad compresora del hombre

A lo largo del proyecto de ley en un lenguaje farragoso se pretendía cuadrar el círculo implicando con ello un nuevo valor para Pi, aunque no estaba muy claro cual era el valor correcto que su autor quería establecer ya que de su lectura se pueden deducir varios. David Singmaster, que analizó este proyecto y el trabajo que el autor del mismo envió a la revista American Mathematical Monthly encontró hasta 9 valores distintos de Pi entre ambos.

El proyecto de ley una vez aprobado siguió su camino hacia el senado donde se hubiese convertido en ley si no fuese por que, de casualidad, llegó a manos del profesor C.A. Waldo, director del departamento de matemáticas de la Universidad de Purdue, que estaba de visita en el senado gestionando la aprobación del presupuesto de su universidad. Waldo quedó asombrado por el contenido del proyecto y transmitió a los senadores su opinión sobre el mismo. Consecuentemente, el debate final del proyecto quedo pospuesto sine die.

El autor y promotor del proyecto de ley fue el médico Edwars Johnston Godwin. En 1894 apareció su trabajo, Cuadratura del círculo, en la revista American Mathematical Monthly, volumen 1 (pag. 246-247), no en la sección de artículos sino en la sección Queries and Information en la que se publicaba un batiburrillo de material que recibían los editores.

La cuadratura del círculo

El problema de la cuadratura del círculo es un problema muy antiguo:

Dado un determinado círculo construir con regla y compás un cuadrado que tenga la misma área.

En 1882 Ferdinand von Lindemann probó que Pi era un número trascendente, lo que significa literalmente que no puede ser una raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Una de las consecuencias de que Pi sea un número trascendente es que cuadrar el círculo es imposible.

Otras construcciones imposibles

Las otras construcciones clásicas con regla y compás también imposibles que se mencionan en el proyecto son:

La duplicación del cubo

Determinar con regla y compás el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado.

La trisección del ángulo

Dividir, con regla y compás, un ángulo dado en tres más pequeños del mismo tamaño.

Un ejemplo de construcción posible con regla y compás
Construcción con regla y compás
Construcción con regla y compás

Un problema soluble con regla y compás que  podemos ver en la figura adjunta es el siguiente:

Dado su lado construir, con regla y compás un hexágono regular.

Más información
  • Underwood Dudley. Mathematical Cranks. 1992.(Washingthon: The Mathematical Association of America)
  • David Singmaster. The Legal Values of Pi. The Mathematical Intelligencer, 7, no. 2 (1985), 69–72.
  • The Indiana Pi Bill 1897. Página en la web del gobierno de Indiana.
Creditos

El autor de la imagen Construcción con regla y compás es Aldoaldoz y está distribuida con una licencia CC BY-SA 3.0.

Historias de matemáticos

El seguro de Hardy para viajar

Godfrey Harold Hardy
Godfrey Harold Hardy

En 1969 George Polya dio una conferencia en la Universidad de Santa Clara, California, con el título: “Algunos matemáticos que he conocido”. Una de las anécdotas que menciona hace referencia a G. H. Hardy, el matemático inglés recordado por sus logros en análisis y teoría de los números así como por ser el mentor del matemático indio Srinavasa Ramanujan. Nos cuenta Polya que:

Hardy solía hacer una visita en el verano a su amigo el matemático danes Harald Bohr. Previamente establecían unos temas de los que iban a hablar y Hardy siempre insistía en que el primer punto fuese : “Probar la hipótesis de Riemann”.
Al acabar la vacaciones Hardy tenía que volver a Inglaterra para retomar sus actividades académicas. El viaje lo hacía en un pequeño barco que cubría el trayecto. Una de las veces, en que había temporal Hardy decidió hacer la travesía de todas formas aunque previamente envió una postal a su amigo Bohr en la que decía: “He probado la hipótesis de Riemann. G.H.Hardy”. Una vez en Inglaterra sano y salvo explicó que lo había hecho porque Dios le tenía manía y por tanto el barco no se iba a hundir ya que Dios no iba a consentir que todo el mundo creyese que  había demostrado la hipótesis de Riemann”

En la misma conferencia, Polya cuenta que alguien hizo la siguiente pregunta a Hilbert, “Si usted resucitase al cabo de 500 años, ¿qué haría?” “Preguntaría, ” contestó Hilbert, “¿Ha probado alguien la hipótesis de Riemann?

La conferencia de Polya se puede leer en: Some mathematicians I have known, Amer. Math. Monthly 76, 746-53;

Las tareas para casa de Dantzig

En una entrevista publicada en 1986 George B. Dantzig, el padre de la programación lineal, cuenta la siguiente historia que tuvo lugar mientras estudiaba en la universidad de Berkeley.
Un día llegó tarde a la clase de Jerzy Neyman y copió los dos problemas que había en el encerado suponiendo que eran las tareas que el profesor había puesto.  Al cabo de unos días se disculpó con Neyman por tardar tanto en hacer los problemas, que le parecieron un poco más difíciles de lo habitual, y le preguntó si todavía se los podía dar, a lo que Neyman le contestó que se los dejase sobre la mesa. Se los dejó de mala gana porque la mesa estaba cubierta con tal cantidad de papeles que pensó que sus tareas se iban a extraviar. Al cabo de seis semanas, un domingo a las ocho de la mañana se despertó por los golpes que alguien daba en la puerta de su casa. Era Neyman. Entro corriendo con los trabajos en su mano, y dijo todo excitado: “Acabo de escribir una introducción a uno de tus trabajos. Léela para que pueda enviarlo a publicar”.  Al principio no tenía ni idea de lo que el profesor le estaba contando. Luego se aclaró la historia: los problemas que había en el encerado y Dantzig había resuelto pensando que eran la tarea para casa, eran en realidad dos famosos problemas estadísticos todavía no resueltos.

La historia la cuenta el propio Dantzig en : An Interview with George B. Dantzig: The Father of Linear Programming.  Donald J. Albers, Constance Reid and George B. Dantzig. The College Mathematics Journal Vol. 17, No. 4 (Sep., 1986), pp. 292-314

El eclipse que salvó a Colón

Colón y el eclipse
Colón y el eclipse

Diego Méndez de Segura acompañó a Colón en el cuarto viaje a América. En su testamento hace un relato del viaje que puede leerse en el libro de Martín Fernández de Navarrete : Colección de los viajes y descubrimientos que hicieron por mar los españoles desde fines del siglo XV, publicado en 1825. El relato de Méndez se hace eco de la siguiente historia:

En 1503 después de haber perdido dos de sus barcos llegaron al norte de la isla de Jamaica donde tuvieron que varar los otros dos ya que tenían muchas vías de agua por estar infestados por gusanos marinos. Mientras algunos de los hombres capitaneados por Méndez marcharon en canoas rumbo a la Española para buscar ayuda, Colón y el resto de los hombres permanecieron en Jamaica.
La relación con los indígenas fue empeorando y aunque durante unos meses les suministraron agua y comida a finales de 1503 dejaron de hacerlo. A medida que el tiempo pasaba y no había noticias de Méndez la situación se iba haciendo desesperada.
Colón, que contaba con un almanaque marino, observó que en las primeras horas del 29 de Febrero de 2004 iba a producirse un eclipse total de Luna. Invitó a los caciques a bordo de su nave y les dijo que los españoles estaban allí por mandato divino y que Dios estaba tan enfadado con ellos por como los trataban que los iba a castigar con hambre y enfermedades, pero les iba a dar una última oportunidad mediante un aviso que consistiría en oscurecer la Luna llena. Algunos de los caciques no creyeron a Colón y se burlaron de él pero a medida que la Luna se iba oscureciendo todos se arrodillaron y le suplicaron que intercediera por ellos. Colón no cedió inmediatamente, para conseguir un efecto mayor se retiró a su cabina y solo salió poco antes de que el eclipse comenzase a remitir para decir a los caciques que después de consultar con Dios le había persuadido de que no los castigase si renovaban el suministro de agua y provisiones mientras durase su estancia. Los caciques aceptaron inmediatamente y Colón hizo un gesto con su mano para que la Luna se descubriese, cosa que efectivamente hizo poco después.

Hasta el 28 de junio de 1504 que fue cuando zarparon camino del puerto de Santo Domingo, en la nave que Méndez había enviado, no ceso el suministro de agua y comida por parte de los caciques.

Puede verse online el libro de Fernández de Navarrete en una edición de la editorial Calpe de 1922 en archive.org o en la edición original de la Imprenta Real de 1825 en books.google.es

Duncan Steel relata la curiosa historia en su excelente libro sobre los eclipses:

Steel, Duncan. 1999. Eclipse. (London: Headline)

Euler y Diderot

De Morgan(1) en A Budget of Paradoxes(2) cuenta la siguiente anécdota:

denid diderot
Denis Diderot

“Durante el reinado de Catalina II Denis Diderot, filósofo y enciclopedista francés, fue invitado a visitar la corte rusa. Reconocido ateísta divulgaba sus ideas entre la juventud rusa. Esto divertía a la emperatriz pero algunos de sus consejeros le sugirieron que seria conveniente controlar las ideas que Diderot exponía. La emperatriz que no quería actuar de forma directa para callar a Diderot urdió el siguiente plan. Se informó a Diderot que un sabio matemático, que resulto ser Leonhard Euler, tenía una demostración algebraica de la existencia de Dios y que se la expondría en presencia de la corte si estaba de acuerdo. A Diderot le pareció bien la sugerencia. Una vez reunida la corte y ambos presentes Euler avanzó hacia Diderot y en un tone grave y de convicción exclamo:

“Señor, (a+bn)/n = x, por tanto Dios existe; responda Vd!”

Diderot, para el que el álgebra era Hebreo, estaba avergonzado y desconcertado, mientras que la corte reía a su alrededor. Pidió permiso, que le fue concedido, y volvió a Francia inmediatamente.”

De Morgan dice que la historia la ha tomado de una obra de Thiébault publicada en 1804 y que se conocía en todo el norte de Europa.

leonhard euler
Leonhard Euler

La anécdota, que aparece desde entonces en muchos libros populares como los de Hogben(3) (La matemática en la vida del hombre [Mathematics for the million]) y Bell(4) ( Los grandes matemáticos [Men of mathematics]), es divertida aunque seguramente falsa. Como Brown(5) asegura es absurda ya que Diderot tenía buenos conocimientos matemáticos de álgebra, geometría y cálculo habiendo publicando antes de su viaje a Rusia al menos 5 interesantes trabajos en relación con las matemáticas. Por otra parte se sabe que Federico el Grande, rey de Prusia, era enemigo de Diderot y también se conoce que varias historias en relación con Diderot y San Petersburgo surgieron de Berlín en esa época.

  1. Augustus De Morgan (1806 – 1871) fue un matemático y lógico británico. En la actualidad se le recuerda fundamentalmente por dar nombre a varias leyes lógicas y por haber escrito A Budget of Paradoxes publicado a título póstumo por su mujer en 1872.

  2. Es una colección de reseñas de libros de visionarios que De Morgan fue escribiendo a lo largo de su vida en ella aparecen cuadradores de círculos, trisectores de ángulos, duplicadores de cubos constructores de movimiento perpetuo y subversores de la gravedad entre otros. También recoge anécdotas y curiosidades relacionadas con las matemáticas como la que aquí se reseña.

  3. Hogben, Lancelot T. 1936. Mathematics for the million. London: Allen & Unwin.

    Hay versión es español traducida por Eduardo Condeminas Abós. La matemática en la vida del hombre. Barcelona: Joaquín Gil, (1941).

  4. Bell, Eric.T. 1937. Men of Mathematics, New York, Simon and Schuster, 1937.

    Hay versión en español. Los grandes matemáticos. Buenos Aires, 2009.

  5. Brown, B.H. (May 1942). “The Euler-Diderot Anecdote”. The American Mathematical Monthly 49 (5): 302–303.

Mathematical Circles

Mathematical Circles es una colección que originalmente fue publicada en seis volúmenes en los que Howard Eves recoge 1800 historias, anecdotas y curiosidades que recorren toda la historia de las matemáticas. Para disfrutar de la mayor parte de ellas no se necesitan conocimientos matemáticos específicos.

Howard Eves(1911-2004) fue un geométra e historiador de las matemáticas americano autor de muchos artículos y libros entre los que se incluye Introduction to the History of Mathematics uno de los libros de textos más usados en la materia.

En la edición que aquí se reseña los seis volúmenes originales se agrupan en tres.

Volumen 1

EVES, Howard W. In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes: Quadrants I, II, III, and IV. The Mathematical Association of America. 2003. 368 p. ISBN: 978-0-88385-542-3

Quadrant I:

The Animal World, Real and Imaginary; Primitive Man; Pre-Hellenic Mathematics; A Few Later Chinese Stories; Thales; Pythagoras; The Pythagorean Brotherhood; Pythagoreanism; Plato; Euclid; Archimedes; Eratosthenes and Appolonius; Diophantus; The End of the Greek Period.

Quadrant II:

Hindu Mathematics; Arabian Mathematics; The Return of Mathematics to Western Europe; The Fourteenth, Fifteenth, and Sixteenth Centuries; The Episode of Cubic and Quartic Equations; François Viète; Simon Stevin, John Napier, and Henry Briggs; Thomas Harriot and William Oughtred; Galileo Galilei and Johannes Kepler; Gérard Desargues and Blaise Pascal, René Descartes and Pierre de Fermat

Quadrant III:

Some Minor Stories About Some Minor Men; Pre-Newtonian Versus Post-Newtonian Mathematics; Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz; The Bernoullis; The Small Initial Understanding of the Calculus; Bonaventura Cavalieri, Yoshida Koyu and Seri Kowa; Some Lesser Seventh- and Eighteenth-Century British Mathematicians; Some lesser Seventeenth-and Eighteenth Century Continental Mathematicians; Leonhard Euler; Lagrange; Laplace; Napoleon Bonaparte.

Quadrant IV:

Abel and Agnesi; Charles Babbage; Caryle and Legendre; Mathematicians and Nature Lovers; Clifford and Dodgson; Calculating Prodigies; Augustus de Morgan; Albert Einstein; Carl Friedrich Gauss; Some Little Men; Hamilton and Hardy; The Miscellaneous Stories; J. J. Sylvester and Norbert Wiener.

amazon.es : Mathematical Circles: Quadrants I, II, III, IV v. 1 (Mathematical Association of America)

Volumen 2

EVES, Howard W. Mathematical Circles Revisited & Mathematical Circles Squared. The Mathematical Association of America. 2003. 412 p. ISBN: 978-0-88385-543-0

Mathematical Circles Squared :

Number Reckoning; Magic Squares; Mathematically Motivated Designs; Geometry; From the American Scene; Among the English; Two Irishmen; Two Scotsmen; The Last Universalist; Croutons for the French Soup; Two Norwegians and a Russian; The Prince of Mathematicians (Gauss); Three Great Göttingen Professors; The Master (Hilbert); Further Göttingen Mathematicians; More German Mathematicians; Olla-Podrida; Printers and Books: Psychology; Addenda: Esthetics

Mathematical Circles Revisited :

Contents: Numbers and Numerals; Big Numbers; Pi; Gematria; Counting Boards; Tally Sticks; Computers; Weights and Measures; Symbols and Terminology; Arithmetic and Algebra; Geometry; Trigonometry; Probability and Statistics; Logic; Topology; From the Younger Set; Classroom Tactics and Antics; Mathematicians and Mathematics; Women of Mathematics; Wherein the Author is Involved; Nicolas Bourbaki; Archimedes to Sidney Cabin; Cauchy to Coolidge Dedekind to Gerbert; Hamilton and Hardy; Heilbronn to Hurwitz; Kasner to Lawrence; Miller to Newton; Peano to Swift; Sylvester to Whitehead; Norbert Weiner.

amazon.es : Mathematical Circles: Mathematical Circles Revisited, Mathematical Circles Squared v. 2 (Mathematical Association of America)

Volumen 3

EVES, Howard W. Mathematical Circles Adieu and Return to Mathematical Circles. The Mathematical Association of America. 2003. 404 p. ISBN: 978-0-88385-544-7.

Mathematical Circles Adieu :

Mathematics in Early America; Pierre de Fermat and René Descartes; Some Pre-Nineteenth Century Mathematicians; Carl Friedrich Gauss; Schellbach and Grassmann; Seven Mathematicians and a Poet; Charles Hermite; Lewis Carroll; A Melange: Albert Einstein; L. J. Mordell; From Our Own Times, On Mathematics and Mathematicians; Professors Teachers and Students; Lectures; Authors and Books; Definitions; Logic; On Mathematics and Logic; Counting; Numbers; Logarithms; Arithmetic; Computers; Mnemonics; The Number Thirteen; Mersenne Numbers; Business Mathematics; Probability and Statistics, Algebra; Geometry; Recreational Matters; Geometrical Illusions.

Return to Mathematical Circles:

Concerning Some Men of Mathematics; Albert Einstein; Einstein’s Theory of Relativity; Einstein and Children; Einstein’s Humor; Einstein Quotes and Comments; Lobachevski and János Bolyai; Julian Lowell Coolidge; Some More Stories about Men of Mathematics; Some Literary Snips and Bits; Sherlockiana; Poetry, Rhymes and Jingles; Computers and Calculators; Algebra; Geometry; Numbers; Probability and Statistics; Flawed Problems; Recreation Corner; Have you Heard?; Mr. Palindrome; Examples of Recreational Mathematics by the Master (Charles W. Trigg); Miscellanea. Epilogue: Some Mathematical Humor in Minute Doses; Some Bits and Tips on Teaching Mathematics; Some Logical and Some Illogical Moments.

amazon.es: Mathematical Circles: Mathematical Circles Adieu, Return to Mathematical Circles v. 3 (Mathematical Association of America)

Anécdotas de Bernoulli y Rutherford

Ernest Rutherford
Ernest Rutherford

Ernest Rutherford(1871-1937) padre de la física nuclear tenía facilidad para el ingenio. De un miembro de un comité que era ineficiente dijo: “ es como un punto euclídeo, tiene posición pero no magnitud”

Wilson, David, 1993. Rutherford simple Genius. (Hodder and Stoughton, Londres)

A Rutherford le gustaba contar la siguiente anécdota: Esperando para una reunión en la universidad entabló conversación con un clérigo que era la otra persona que había en la sala. “Hola, soy Lord Rutherford”, “Hola, soy el Arzobispo de Canterbury”, contesto el clérigo antes de que de nuevo se hiciese el silencio en la sala.

A Rutherford le gustaba añadir que estaba convencido de que ninguno de los dos había creído al otro.

[Cathcart, B., 2005. The fly in the cathedral. (Londres, Penguin)]

Daniel Bernoulli por Grooth
Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli(1700-1782) físico y matemático,  especialmente recordado por sus trabajos en mecánica de fluidos, probabilidad y estadística, solía contar dos  anécdotas, que decía que le habían dado más placer que todos los honores que había recibido. Estando de viaje mantuvo una agradable conversación con un desconocido de gran sabiduría que en un momento dado le preguntó su nombre; “Soy Daniel Bernoulli”, respondió con gran humildad”; “y yo”, dijo el desconocido (que pensó que quería reírse de él) “soy Isaac Newton”. En otra ocasión en que tuvo que cenar con el celebre matemático Koenig, quien pasó parte de la cena presumiendo, con cierto grado de autocomplacencia, de que había resuelto un problema difícil después de arduo trabajo, Bernoulli continuó haciendo los honores en su mesa y cuando pasaron a tomar el café le entregó a Koenig una solución al problema más elegante que la que él había encontrado.

[Hutton, Charles, 1815. A philosophical and mathematical dictionary. London.]