El número e

El número e es quizá el número más importante en matemáticas. ¿Qué es e? ¿Cómo se define? ¿Qué propiedades tiene? Además de tratar de contestasr a estas preguntas, en esta entrada se repasan varias de sus apariciones, alguna de ellas en sitios insospechados.

El número e probablemente sea el número más importante en las matemáticas. Aproximado a 5 decimales su valor es 2.71828. No solo es irracional (no se puede expresar como una fracción) sino que, al igual que π, es trascendente (no puede ser raíz de una ecuación polinómica con coeficientes enteros). Es conocido también como número número de Euler ya que Leonhard Euler(1797-1783) fue el primero en estudiarlo y representarlo por la letra e. Aparece en muchos y diferentes lugares pero quizás el más famoso de todos ellos sea la formula de Euler, que relaciona las constantes  e y π con los números 0 y 1 así como con la unidad imaginaria i, e^{i\pi} +1=0 \ Como se verá más abajo, una de sus apariciones estelares tiene lugar en la función exponencial, y = \textbf{e}^{x} \ que posee, en exclusiva, la propiedad de que su velocidad de cambio (dy/dx) en cualquier punto tiene el mismo valor que la propia función en ese punto (ex). Antes de definirlo veamos algunos lugares sorprendentes en los que emerge.

El problema del secretario

Un empresario va a realizar n entrevistas para contratar a un secretario. Los candidatos serán entrevistados en un orden aleatorio. Al terminar cada entrevista, el empresario debe decidir si contrata a la persona entrevistada o no. Tiene un criterio de selección que permite ordenar, sin empates, a todos candidatos ya entrevistados. Una vez que pase el siguiente candidato ya no podrá contratar a ninguno de los anteriores. ¿Cuál es la estrategia  que debe seguir para maximizar las probabilidades de contratar al mejor candidato? La estrategia optima es la siguiente: descartar los primeros ∼n/e candidatos entrevistados y a continuación seleccionar el primer candidato que sea mejor que los primeros ya entrevistados. Procediendo de esta manera la probabilidad de seleccionar al mejor candidato es aproximadamente 1/e, lo que implica que si se sigue esta estrategia se seleccionará al mejor candidato en torno al 37 % de las ocasiones. Una versión denominada The Game of Googol apareció en la columna Mathematical Games de febrero de 1960 que Martin Gardner mantenía en la revista Scientific Américan. El juego del Googol sería algo así: Tenemos un pila de n tarjetas que han sido barajadas. Cada una de ellas,  en la cara que no vemos, tiene escrito un número diferente. No tenemos ninguna información sobre el rango en el que se mueven los  números de las tarjetas que pueden ir desde 1 googol hasta un pequeña fracción de la unidad. Nuestro objetivo es seleccionar la tarjeta que tiene el número mayor. Las reglas son las siguientes: hay que coger una tarjeta, darle la vuelta y observar el número que tiene escrito. En ese momento hay que decidir si se selecciona y el proceso termina, o si se tira a la papelera y se pasa a la siguiente. ¿Cómo podemos maximizar la probabilidad de escoger la tarjeta que tiene el número mayor? La estrategia es similar a la del problema anterior: descartar, una vez vistas, las ∼n/e primeras tarjetas y a continuación seleccionar la primera tarjeta que tenga un número mayor que los ya vistos. Procediendo de esta manera la probabilidad de seleccionar el número mayor  es aproximadamente 1/e, lo que implica que si se sigue esta estrategia se seleccionará el número mayor en torno al 37% de las ocasiones.

Otra aparición sorprendente

Si seleccionamos números al azar en el intervalo [0,1], ¿cuantos necesitaremos, en promedio, para que su suma supera la unidad? La respuesta es e. En el siguiente script en Python se puede ver una simulación,

Y una más

Se genera una secuencia de números al azar en el intervalo [0,1] hasta encontrar uno que sea inferior al anterior. Se cuentan los números de la secuencia incluyendo el último. Por término medio se habrán generado e números.

Primer contacto con el número e

En los libros de enseñanza media se suele introducir como la base de los logaritmos naturales y relacionándolo con una forma de remuneración de una cuenta bancaria: Supongamos que un banco ofrece un interés del 100 % al dinero que se deposite en sus cuentas y además permite ingresar o retirar dinero en cualquier momento a través de su oficina virtual electrónica . Si disponemos de 1 € y 1 año de tiempo, ¿qué cantidad como máximo podremos conseguir al final? Una manera de proceder sería ingresar el euro y esperar un año, el banco nos devolvería nuestro euro y añadiría otro de intereses, en total 2 €. ¿Se puede mejorar? Sí, si al cabo de 6 meses de haber hecho el ingreso cobramos los 0,5 € de intereses y los añadimos el euro inicial, al cabo del año estos 0,5 € que han estado medio año producirán 0,25 €, con lo que en total tendremos 2,25 €. Si continuamos con esta idea y recogemos los intereses con una frecuencia mayor, reinvirtiendo lo recibido, cada vez recibiremos una cantidad un poco mayor. En la tabla que sigue se puede ver como va aumentando lo que recibimos a medida que aumenta la frecuencia de cobro/reinversión.
nº de veces/año cantidad final
1 2,0000000
2 2,2500000
3 2,3703704
4 2,4414063
6 2,5216264
12 2,6130353
100 2,7048138
1000 2,7169239
10000 2,7181459
100000 2,7182682
1000000 2,7182805
10000000 2,7182817
100000000 2,7182818
La última cantidad de dinero recibido que aparece en la tabla 2,7182818 es el número e redondeado a 8 cifras. La forma de calcular la cantidad final que recibiremos del banco si repetimos n veces, a intervalos regulares, el proceso de reinvertir los intereses producidos es \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n  \ El número e es límite de la expresión anterior cuando n tiende a infinito \textbf{e}= \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \ Si reinvertimos los intereses recibidos de forma continua, lo que se denomina interés compuesto, recibiremos al cabo del año e euros. Una aproximación con 40 decimales, e = 2.7182818284590452353602874713526624977572…

Otras formas de definir e

El número e se puede definir a partir de los logaritmos naturales. Primero se define la función logaritmo natural como el área bajo la hipérbola y =1/u desde u = 1 hasta u = x, o lo que es lo mismo, \ln(x) = \int\limits_1^x \frac{1}{u} \mathrm{d} u \ y e se define como el número cuyo logaritmo natural es igual a 1, \ln(e) = 1 \ a partir de la definición dada de logaritmo natural, 1 = \int\limits_1^e \frac{1}{u} \mathrm{d} u \
e es el número cuyo logaritmo natural es 1 ln(e) = 1 e es el número cuyo logaritmo natural es 1.
    Otra manera de definir e es la siguiente: Si la tangente a curva y = b^x \, cuando corta al eje y, tiene una inclinación de 45º, la base b es el número e. O lo que es lo mismo la derivada de y = b^x \ en x = 0 tiene el valor 1.
definición del número e La tangente en x = 0 tiene una inclinación de 45º

Calculando e

De entre las series y fracciones continuas que permiten calcular e, la que Isaac Newton(1642-1727) publicó 1669 es una de las más sencillas, \mathrm{e}  = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}+\dots \

La Ciencia y e

e aparece frecuentemente en todas los campos científicos especialmente en situaciones en las que la velocidad de cambio de una cierta magnitud depende del valor de dicha magnitud. A continuación algunos ejemplos,

Modelo Lotka-Volterra

Alfred J. Lotka(1880-1949) y Vito Volterra (1860-1940) de forma independiente propusieron un modelo matemático para estudiar la dinámica de sistemas en los que existe una competencia entre varias especies. Aplicado con frecuencia sistemas biológicos en los que coexisten dos especies, un depredador y una presa también tiene aplicación a otros campos como la química de reacciones oscilantes en los que en lugar de variaciones en las poblaciones de organismos vivos, se estudian las variaciones en la concentración de especies químicas que de alguna manera también compiten. En una de sus formas básicas el sistema depredador-presa se representa mediante el siguiente par de ecuaciones diferenciales, \frac{d{x}}{d{t}} = \alpha{x}-\beta{xy} \ \frac{d{y}}{d{t}} = -\gamma{y}+\delta{xy} \ x representa número de presas, y, número de depredadores, y t, tiempo. Las ecuaciones describen las variaciones temporales en las poblaciones de presas y depredadores. α, β, γ, δ son parámetros que describen el comportamientos de las especies. Representando α, capacidad de reproducción de las presas, β, capacidad de depredación de los depredadores, γ, mortalidad de depredadores y δ, capacidad de reproducción de los depredadores. Analicemos primero lo que sucedería, según el modelo, en dos situaciones particulares, la ausencia de depredadores y la ausencia de presas.
Situación 1: No hay depredadores
Si no hay depredadores la población de presas vendría descrita por, \frac{d{x}}{d{t}} = \alpha{x} \ cuya solución viene dada por la ecuación x = x_{0} \textbf{e}^{\alpha t} \ en la que x0 es la población de presas a t = 0 La población de presas, x, crece  exponencialmente. Esta forma de crecimiento en una población se denomina crecimiento Malthusiano en honor a Thomas Malthus(1766-1834) y sus teorías demográficas,
Crecimiento Exponencial
Crecimiento Exponencial Malthusiano
Situación 2: No hay presas
Si no hay presas, la población de depredadores se describe mediante, \frac{d{y}}{d{t}} = -\gamma{y} \ con solución, y = y_{0} \textbf{e}^{-\gamma t} \ en la que y0 representa la población de depredadores a t = 0) Esta forma de disminución se denomina decaimiento exponencial. La población de depredadores, y, disminuye exponencialmente hasta su desaparición.
Decaimiento Exponencial
La población disminuye decayendo exponencialmente
Situación 3: Coexisten presa y depredadores
Cuando coexisten presas y depredadores el sistema de ecuaciones diferenciales no se puede resolver analíticamente en términos de funciones elementales. Lo que si es posible es estudiar estos sistemas cualitativa y cuantitativamente y encontrar valores de α, β, γ, δ para los que a partir de valores iniciales de las poblaciones de presas y depredadores se alcanzan situaciones de equilibrio. En la figura puede verse una de estas situaciones de equilibrio en las que las poblaciones de presas y depredadores varían periódicamente.
Situación de equilibrio en un sistema depredador-presa
Sistema Lotka-Volterra. Situación de equilibrio en un sistema depredador-presa
En esta situación las poblaciones de presas y depredadores estan relacionadas por la siguiente expresión, en la que también e está presente, \frac{y^{\alpha}x^{\gamma}}{ \textbf{e}^{\beta y} \textbf{e}^{\delta x}} = \textbf{e}^{K} \ K representa una constante.

Datación por Carbono-14

Los vegetales toman constantemente carbono de la atmósfera, en forma de dióxido de carbono, y lo incorporan a sus tejidos. A través de la cadena alimenticia, este carbono está presente también en los animales. El carbono atmosférico contiene una pequeña parte de carbono radiactivo: el isótopo Carbono-14 (C-14).  El C-14 atmosférico se forma por la acción de los rayos cósmicos sobre el nitrógeno atmosférico. Mientras el vegetal está vivo, la proporción de C-14 es la misma que en la atmósfera. Cuando muere, la cantidad de C-14 disminuye paulatinamente con el tiempo debido a la desintegración radiactiva. De este modo, la proporción de C-14 en un resto de algo que en un tiempo pasado fue un ser vivo permite conocer cuanto hace que ha muerto. Qué relación hay entre la cantidad de C-14  presente en una muestra en un instante t0 y la cantidad presente cuando ha pasado un tiempo t. Una muestra radiactiva se desintegra en un proceso de decaimiento exponencial que como se ha visto más arriba quiere decir que la velocidad a la que se desintegran los átomos de la substancia en un momento dado  depende de la cantidad de átomos presentes en ese instante. Esto es lo que refleja la siguiente ecuación diferencial, \frac{d{N}}{d{t}} = -\lambda N \ N es el número de átomos C-14 presentes en un momento dado y λ es la constante de desintegración radiactiva que mide la probabilidad de que un átomo se desintegre. λ es la inversa del tiempo de vida media,τ ,que representa el tiempo medio que tarda un átomo radiactivo en desintegrarse. La solución de la ecuación diferencial anterior es, N = N_{0} \textbf{e}^{-\lambda t} \ en la que N0 representa el número de átomos cuando t = 0. Si la expresamos en función del tiempo de vida media, N = N_{0} \textbf{e}^{-\frac{t}{\tau}} \ despejando t y teniendo en cuenta que el tiempo de vida media para el C-14 es τ = 8267 años. t =8267\ln(\frac{N_0}{N}) \ Conociendo el número de átomos de C-14 que había en la muestra cuando el organismo estaba vivo(N0) y el número de átomos que hay en la actualidad (N), se puede saber el tiempo (t) que ha transcurrido.

Absorción del sonido al atravesar un medio

Cuando el sonido atraviesa un medio su intensidad disminuye ya que una parte de la energía de la onda sonora se disipa en forma de calor. La variación de la intensidad sonora, I, con la distancia, x, al atravesar el medio es proporcional a la propia intensidad , \frac{d{I}}{d{x}} = -\beta I \ La solución a la ecuación diferencial anterior viene dada por, I = I_{0} \textbf{e}^{-\beta x} \ siendo I0 la intensidad sonora al entrar en el medio y β el coeficiente de absorción que es propio de cada medio. Algo parecido sucede también con las ondas electromagnéticas como establece la ley de Beer–Lambert.

Alguna curva famosa con e en su ecuación

La catenaria

Si se cuelga una cuerda, cable o cadena entre dos puntos, adopta la forma de una curva denominada catenaria.
catenaria
Una cadena colgando entre dos puntos adopta la forma de una catenaria
La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas es, y = \frac{a(\textbf{e}^{\frac{x}{a}} +\textbf{e}^{-\frac{x}{a}} )}{2} \

La espiral logarítmica

En el crecimiento del romanesco aparece la espiral logarítmica
En el crecimiento del romanesco aparece la espiral logarítmica
La espiral logarítmica es una curva que podemos ver frecuentemente en la naturaleza. Aparece en la forma de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y otras galaxias espirales. Está también presente en la concha de muchos moluscos y vegetales como el romanesco o en el aspecto que presenta un huracán y otras formaciones atmosféricas vistas desde el espacio. Aunque Descartes la mencionó por primera vez, fue estudiada a fondo por Jacob Bernouilli que la llamó Spira mirabilis (Espiral maravillosa).
Detalle de la tumba de Bernoulli
Detalle de la tumba de Bernoulli
Este último quiso que apareciese inscrita en su tumba con el texto latino Eadem mutata resurgo (Aunque cambiada resurjo la misma), que hace referencia a que la espiral no cambia de forma aunque cambie de tamaño. El grabador que no debía tenerla a mano inscribió en su lugar una espiral de Arquímedes.
Espiral logarítmica
Espiral logarítmica
La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es, r = a \textbf{e}^{b\theta} \ en la que a y b representan dos constantes positivas.

Ramanujan y e

Y como colofón una fórmula en la que el número e aparece acompañado de otros populares colegas: 0, 1, 2, π y el número áureo, φ. En una de las cartas que  Srinavasa Ramanujan(1887-1920) envió a G.H. Hardy(1877-1947) aparecen tres fórmulas de las que Hardy dice: “Nunca había visto nada parecido. Un simple vistazo es suficiente para comprobar que únicamente podrían haber sido escritas por un matemático de la clase más alta. Deben ser ciertas porque, si no lo fueran, nadie tendría la imaginación para inventarlas”. Una de ellas es la siguiente, \frac{1}{1+\frac{\textbf{e}^{-2\pi}}{{1+\frac{\textbf{e}^{-4\pi}}{1+\dots}}}}-\left(\sqrt{2+\varphi}-\varphi\right)\textbf{e}^{\frac{2}{5}\pi}=0 \

Para saber más

  • Anisiu, M.C. 2014. Lotka, Volterra and their model. Didactica Mathematica, Vol. 32(2014), pp. 9–17.
  • Clawson, C.C. 1996.  Mathematical Mysteries. The Beauty and Magic of Numbers. Perseus Books.
  • Darling, D. 2004. The Universal Book of Mathematics. Wiley.
  • Ferguson, T. S. (1989). Who solved the secretary problem?. Statistical Science. 4 (3): 282–296.
  • Gardner, M. 1966. The game of Googol en New Mathematical Diversions. Simon and Schuster. Hay traducción al español
    • Gardner, M. 1981. Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza Editorial: El libro de bolsillo 391.
  • Gardner, M. 1969. The transcendental number e  en The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Simon and Schuster. Hay traducción al español
    • Gardner, M. 1991. El trascendental número e en El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos. Alianza Editorial: El libro de bolsillo 1549.
  • Hardy, G.H. 1959.Ramanujan; twelve lectures on subjects suggested by his life and work. Chelsea Publishing Company.
  • Maor, E. 1994.  e: The story of a number. Princeton University Press.
  • Shultz H.S. and B. Leonard. 1989. Unexpected Occurrences of the Number e. Mathematics Magazine, October 1989, Volume 62, Number 4, pp. 269–271.

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Mañana, lunes 24 de septiembre de 2018, Michael Atiyah, renombrado matemático británico acreedor de múltiples distinciones entre las que está la Medalla Fields y el Premio Abel presenta una ponencia en el Heidelberg Laureate Forum 2018 en cuyo resumen se puede leer que incluye una prueba de la Hipótesis de Riemann

La mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en afirmar que La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) la incluyó en un trabajo de 8 páginas publicado en 1859 titulado, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada. Este trabajo fue de gran influencia sobre muchos grandes matemáticos de las generaciones que le siguieron.

A día de hoy, más de 150 años después, la hipótesis sigue sin demostración. El Instituto Clay ha establecido un premio de un millón de dolares para la primera persona que consiga demostrarla.

¿Qué dice la hipótesis de Riemann?

A diferencia de otros enunciados de teoremas famosos como el último teorema de Fermat o el teorema de los cuatro colores, la hipótesis de Riemman tiene un enunciado que resulta críptico para los no matemáticos:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a 1/2

¿Por qué es importante?

Además de tener una íntima relación con la forma en la que los números primos están distribuidos entre los enteros, la Hipótesis de Riemann está íntimamente relacionada con la naturaleza misma de la realidad física a través de la mecánica cuántica.

En lo que sigue intentaré dar un repaso a la historia de los esfuerzos realizados para comprender la naturaleza de los números primos para tratar de entender la génesis de la hipótesis de Riemann y su significado.

Números Primos

¿Qué es un número primo?

Los primos son los números enteros mayores que 1 que no tienen divisores positivos distintos de si mismos y la unidad. Los diez primeros primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Se llaman números compuestos a los enteros mayores que 1 que no son primos. Así 6 es un número compuesto ya que es divisible por 2 y por 3.

¿Por que son importantes los números primos?

Haciendo una analogía química se puede decir que los números primos son los elementos a partir de los que se construyen el resto de los números enteros. Los números enteros mayores que 1 o son primos o se pueden descomponer, de una única forma, salvo el orden, en números primos. Por ejemplo, 180, que es un número compuesto, se puede expresar como producto de números primos solo así, 2·2·3·3·5. Este hecho, llamado el teorema fundamental de la aritmética, era conocido probablemente en tiempos de Euclides ya que en los Elementos se mencionan algunas proposiciones muy relacionadas con él; sin embargo, la primera demostración completa tardó más de veinte siglos, apareció en las Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss publicó en 1801.

¿Cuántos números primos hay?

En los Elementos de Euclides aparece la primera demostración de que los números primos son infinitos. Euclides emplea un método conocido como reducción al absurdo:

Supongamos que los números primos no son infinitos. Por tanto existe uno que es el último, pu.

Multipliquemos todos ellos y al resultado sumémosle 1,

2 · 3 · 5 · . . .  · pu+ 1

Este número no es divisible entre ninguno de los primos ya que, la división siempre da de resto 1. De lo anterior se puede deducir que o es primo o hay un primo mayor que pu que lo divide. Esta conclusión entra en contradicción con la suposición inicial de que pu es el último primo. La conclusión lógica de lo anterior es que los números primos son infinitos.

La criba de Eratóstenes

Se debe a Eratóstenes (276aC, 194 aC) un método para obtener los primos que hay hasta un número dado. Una operación de este tipo se llama criba ya que la idea es cribar los números enteros para quedarnos con los primos. El procedimiento es como sigue:

  1. Escribir en una tabla todos los enteros entre 2 y el número dado.
  2. Elegir el primer número no marcado ni tachado. (El primero es el 2). Este número es primo ya que, como no está tachado, no es divisible por ninguno de los primos anteriores.
  3. Tachar todos los múltiplos del número elegido en el paso anterior que no estén ya tachados. (Inicialmente, al elegir el 2, se tachan 4, 6, 8,…. La siguiente vez serán 9, 15, 21, …)
  4. Repetir desde el paso 2
Criba de Eratóstenes.
Autor: Sebastian Koppehel. Licencia: CC BY-SA 3.0

¿Cómo están distribuidos los primos?

¿Como aparecen los números primos distribuidos entre los enteros? ¿Hay algún orden? Veamos algunos hechos relacionados con su distribución:

Postulado de Bertrand

En su forma más elegante aunque más débil establece que siempre hay al menos un primo, p, entre un número cualquiera, n, y su doble, 2n:

n < p < 2n

Debe su nombre a Joseph Bertrand que lo comprobó para números hasta 3 millones.  Chebyshev lo demostró en 1850.

El postulado de Bertrand implica que el primo n-esimo (el que hace el numero n de la lista) siempre aparece antes de 2n

Números compuestos consecutivos sin límite

Aunque de entrada puede resultar paradójico, es fácil demostrar que es posible encontrar una lista de números enteros consecutivos tan grande como se quiera que no contenga ningún primo.

Los siguientes n números consecutivos son todos compuestos:

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ···, (n + 1)! + n+1

ya que,

(n + 1)!, que se lee factorial de n + 1 y es una forma abreviada de escribir (n + 1)·n·(n – 1)·(n – 2) ··· 3 · 2 · 1, es divisible por todos los enteros 1, 2, 3, ··· n + 1. Por tanto en la lista anterior, de n números consecutivos, todos ellos son compuestos ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, el tercero por 4 y así sucesivamente hasta el último, que es divisible por n+1.

La serie armónica

Ver entrada anterior

Producto de Euler

Euler definió la función zeta mediante la serie siguiente

\zeta (x)=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+\cdots \

x es un número real que solo puede tomar valores mayores que la unidad ya que para valores menores, la función no está definida pues la serie no tiene una suma finita. (El significado de serie, limite de una serie, suma de una serie y otros relacionados pueden verse en la entrada anterior: La serie armónica, que por otra parte es la serie que se obtiene cuando x en la función zeta toma el valor de 1).

leonhard euler
Leonhard Euler (1707-1783)

En Variae observationes circa series infinitas, trabajo publicado en 1737, Euler demostró la siguiente identidad, denominada producto de Euler,

\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}} \

Si se desarrolla la parte derecha se obtiene la siguiente expresión:

\left (1-\frac{1}{2^s} \right ) \left (1-\frac{1}{3^s} \right ) \left (1-\frac{1}{5^s} \right ) \left (1-\frac{1}{7^s} \right )\cdots \

En este producto aparecen uno a uno todos los números primos.

Cuando s toma el valor 2 el producto tiene como límite el valor π²/6  y su inverso 6/π² representa la probabilidad de que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si. (Ver la entrada: ¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?)

El producto de Euler muestra la relación que existe entre la función zeta y los números primos. Su demostración es de una gran belleza por su simplicidad, siendo necesario únicamente para poder seguirla disponer de unos conocimientos básicos de álgebra.

A partir del producto de Euler es posible demostrar también la infinitud de los primos. Si substituimos s por 1, el termino de la izquierda representa la serie armónica, que como sabemos es divergente (Su suma no tiene límite). Esto implica que el termino de la derecha también tiene que crecer sin límite o lo que es equivalente: no hay un último primo.

El teorema de los números primos

A principios del siglo XIX Legendre, Gauss y Dirichlet entre otros estudiaron la frecuencia de aparición de los primos. Más concretamente, el número de primos menores o iguales que N, que habitualmente se representa por la función π(N). Observaron que a medida que N se hace grande el número de primos menores o iguales que N se aproxima a N/ln(N). (ln representa el logaritmo natural o neperiano) La afirmación anterior es equivalente a decir que el cociente entre ambas cantidades se aproxima a 1. En términos más matemáticos:

\lim_{N\to \infty}{\frac {\;\pi (N)\;}{\frac {N}{\ln(N)}}}=1 \

Este resultado se conoce como el teorema de los números primos

En la tabla siguiente se muestran algunos valores de π(N), N/ln(N) y su cociente que tiende a 1.

Nπ(N)N/ln(N)π(N)/(N/ln(N))
10440,92
10025221,15
10001681451,16
10000122910861,13
100000959286861,10
100000078498723821,08
100000006645796204211,07
100000000576145554286811,06
100000000050847534482549421,05
100000000004550525114342944821,05

Dos importantes consecuencias del teorema de los números primos son las siguientes:

  • La probabilidad de que N sea primo es aproximadamente igual a \frac {1}{ln(N)} \
  • El número primo que ocupa la posición N de la lista es aproximadamente Nln(N)

Aproximadamente en las afirmaciones anteriores significa que cuanto mayor sea N menor error tendrá la aproximación.

La hipótesis de Riemann

Fragmento de la primera página del trabajo de Riemann de 1859.
Toma como punto de partida el Producto de Euler que relaciona los primos con los enteros.

Como hemos visto un poco más arriba, el producto de Euler muestra la relación existente entre la función zeta y los números primos. Riemann lo utiliza como punto de partida en su trabajo de 1859 en el que aparece su hipótesis.

Riemann da un paso más que Euler. Basándose en  ciertos patrones que presenta la función zeta de Euler y utilizando una técnica matemática del análisis complejo denominada continuación analítica, extendió la definición de la función zeta de forma que se pudiese aplicar a los números complejos. Se dio cuenta de que podría demostrar el teorema de los número primos si era capaz de entender los ceros que presentaba la función zeta. O lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación

\zeta (z)=0 \

La función zeta de Riemann, la extensión de la función zeta de Euler, tiene como ceros todos los números enteros pares negativos : -2, -4, -6, …

Además de estos ceros, denominados ceros triviales, tiene multitud de ceros que son números complejos. Un número complejo se expresa de la forma a + bi. Tiene una parte real, a,  y una parte imaginaria, b, siendo i el número que al elevarlo al cuadrado es igual  -1, o lo que es lo mismo

i = \sqrt{-1} \

En el trabajo de 1859 mencionado al principio, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada,  y haciendo uso de un profundo conocimiento de la función zeta, establece su hipótesis:

La parte real de todas los ceros no triviales de la función zeta es 1/2

Si fuese cierto, también lo sería el teorema de los números primos.

Hadamard y de la Vallée Poussin demostraron en 1896, de forma independiente el teorema de los números primos,  pero aunque usaron la función zeta de Riemann no demostraron su hipótesis.

Hoy se sabe que  la parte real de los ceros complejos de la función zeta se encuentra entre 0 y 1. Hardy, que le dedico muchos esfuerzos, consiguió demostrar en 1911 que hay infinitos ceros en los que la parte real es 1/2. (Ver la anécdota sobre Hardy y la hipótesis de Riemann). En la actualidad se conocen más de 1013 ceros no triviales de la función zeta y todos ellos tiene como parte real 1/2.

Para saber más

  • Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.
  • Davis, Philip J. y Harsh, Reuben. 1984. The Riemann Hypothesis en Mathematics: People, Problems, Results, Volumen 2. Editado por Douglas M. Campbell y John C. Higgins.  Wadsworth International.
  • Derbyshire, John. 2003. Prime Obsession . Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Joseph Henry Press
  • Devlin, Keith. 1994. Mathematics. The Science of Patterns. Scientific American Library
  • Wells, David. 2005. Prime Numbers. John Wiley & Sons, Inc.

Ladrón de Julios: encendiendo un led con una pila gastada

Una pila de 1,5 V, de las que se utilizan en dispositivos electrónicos pequeños, de tipo AA o AAA, no permite normalmente encender un led ya que casi todos necesitan tensiones superior a 2 V. Sin embargo, si utilizamos de intermediario entre pila y led un circuito conocido como Ladrón de Julios, podremos encender no uno sino muchos ledes, incluso aunque la pila esté gastada.

El experimento

Material necesario

  • 1 toroide de ferrita (valen muchos tipos)
  • 1 resistencia 1 kΩ (vale de 0,5 kΩ a 2 kΩ)
  • Unos cuantos ledes de distintos colores.
  • 1 transistor PN2222A (hay muchas alternativas posibles)
  • Cables para las conexiones y para el bobinado sobre el toroide de ferrita.
  • 1 pila AA o AAA de 1,5 V gastada y otra sin gastar para el control.
  • 1 placa de pruebas (u otra forma alternativa de hacer las conexiones)

Material para montar un Ladrón de Julios
Material para montar un Ladrón de Julios

¿Cómo se hace?

Forma de conectar los elementos del ladón de julios
Forma de conectar los elementos del ladrón de julios

A tener en cuenta

toroide con 2 bobinados
toroide con 2 bobinados

  • En el toroide hay dos bobinas superpuestas. Para crear las bobinas se usa hilo de cobre esmaltado, como el que se ve en la fotografía del material, o hilo forrado. Para un toroide como el de la foto hacen falta dos trozos de 50 cm. Una vez bobinados, si se usa hilo de cobre esmaltado, hay que lijar los extremos para eliminar el esmalte

toroide
toroide

  • Las dimensiones aproximadas del toroide utilizado son: diámetro exterior 13 mm, diámetro interior 7 mm y altura 5 mm.
  • Un portapilas o unos cables con imanes en los extremos facilitan la conexión de la pila.
  • Si se usa un transistor pnp hay que invertir la polaridad de pila y led.
  • Los ledes están conectados en serie.

¿Qué sucede?

Esquema de ladrón de julios
Esquema de ladrón de julios

Si un dispositivo alimentado por pilas deja de funcionar debido a que las pilas están gastadas no significa que estas no tengan todavía energía disponible, lo que suele significar es que la tensión que suministran las pilas ha bajado de un cierto límite que el dispositivo necesita.
El ladrón de julios es un circuito oscilante que funciona como amplificador de tensión. Transforma una tensión continua pequeña en una serie de pulsos de alta frecuencia a una tensión mayor. Consigue así aprovechar mucha energía de una pila aparentemente sin ella.
En la figura  se representa el esquema de un ladrón de julios.
En una parte del ciclo la energía de la pila se almacena en la bobina B2. En esta parte del ciclo el led está apagado. En la otra parte del ciclo la energía almacenada en la bobina B2 se disipa a través del led encendiéndolo. El transistor actúa como conmutador dando lugar a la oscilación del circuito. [En el dibujo del circuito y en el video la resistencia está entre la bobina B1 y la base mientras que en el esquema está entre B1 y la pila. Ambos circuitos son equivalentes]

Entrando un poco más en detalle:

    1. Inicialmente el transistor está en corte (al no haber corriente de base, se comporta como un interruptor abierto), no circula corriente entre colector y emisor.
    2. La pila hace que comience a pasar una pequeña corriente a través de la resistencia que, después de atravesar la bobina B1, llega a la base activando el transistor y permitiendo el paso de corriente entre colector y emisor.
    3. A medida que la corriente aumenta en la bobina B2, se induce corriente en la bobina B1 que refuerza la corriente de base abriendo más el paso a la corriente colector-emisor.
    4. El paso 3 se repite hasta que el transistor está en saturación y la corriente que atraviesa la bobina 2 y el canal colector-emisor ha llegado al máximo. En este momento hay una gran energía almacenada en el campo magnético de la bobina B2.
    5. Como la corriente no varía en la bobina B2, desaparece el efecto de inducción sobre la bobina 1 y comienza a descender la corriente que llega a la base.
    6. Al disminuir la corriente de base, el canal colector-emisor comienza a cerrarse produciendo una disminución de corriente en la bobina B2.
    7. La caída de corriente en la bobina B2 provoca que en la bobina B1 la corriente disminuya también.
    8. La repetición de los pasos 6 y 7 pone al transistor en corte.
    9. Con el transistor en corte, la energía magnética que queda almacenada en la bobina B2 provoca un pulso de corriente a través del led.
    10. Una vez que la energía de la bobina se ha disipado, todo comienza de nuevo.

Los puntos que aparecen en el símbolo de las bobinas en el esquema del circuito, indican puntos con misma polaridad instantánea.

En un ladrón de julios típico la frecuencia de funcionamiento es del orden de 50 kHz mientras que la tensión de salida puede estar en torno a los 30 V.

Un poco de historia

ladron de julios original
ladrón de julios original

En el número de noviembre de 1999 la revista Everyday Practical Electronics publicó un articulo firmado por Z. Kaparnik con el título One Volt LED-A Bright Light. Presentaba tres circuitos que permitían encender un led con una fuente de tensión mucho menor que la necesaria para encenderlo directamente. El circuito más simple de los tres presentados es el que aparece en la figura.

En palabras de Kaparnik:

In the Micro-torch circuit Fig.1a, transistor TR1, transformer T1 and resistor R1 form a current-controlled switching oscillator. Each time TR1 turns off, the collapsing magnetic field in T1 generates a 30V (off-load) positive pulse at TR1’s collector (c). This, in series with the supply, is fed directly to the LED.
Switching occurs at a very high frequency and with a low duty cycle, which results in an average LED current of about 18mA, sufficient to illuminate most LEDs.

Más información

Créditos

El primer juego de ordenador de la historia

El Ajedrecista de Leonardo Torres Quevedo, presentado en 1912, está considerado como el primer juego de ordenador de la historia. En esta entrada se puede jugar contra un programa que implementa el mismo algoritmo usado en El Ajedrecista.

El autor

Leonardo Torres Quevedo por Eulogia Merle MUNCYT
Leonardo Torres Quevedo por Eulogia Merle MUNCYT

Leonardo Torres Quevedo (1852-1936) fue un ingeniero e inventor español nacido en Santa Cruz de Iguña (Cantabria).
Dedicó la mayor parte de su vida a diseñar y elaborar una amplia variedad de inventos geniales. Por citar alguno de los que han tenido más repercusión mediática:
El telekino: un mando a distancia que utilizaba ondas electromagnéticas. El 7 de noviembre de 1905, en el puerto de Bilbao, con la asistencia del rey Alfonso XIII y una gran multitud, demostró su funcionamiento gobernando un bote desde la orilla.
Transbordadores: El Spanish Aerocar es un transbordador que cruza las cataratas del Niagara. Inaugurado en 1916, sigue en funcionamiento en la actualidad.
Ordenadores Analógicos. En estos dispositivos, un proceso matemático se transforma en un proceso físico representando los números mediante magnitudes físicas como tensiones o intensidades eléctricas, rotaciones en un eje, etc. Torres Quevedo construyó varias máquinas de este tipo, por ejemplo una que resolvía ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos.

En su artículo Ensayos de automática. Su definición . Extensión teórica de sus aplicaciones publicado en 1914 en la Revista de la Real Academia de Ciencias, presenta muchas de sus ideas sobre la realización de los autómatas. Se incluye el diseño completo de una máquina capaz de calcular a(y-z)^2 para un conjunto de valores de las variables presentes, lo que implica dispositivos electromecánicos para almacenar dígitos decimales, realizar operaciones aritméticas utilizando tablas o comparar el valor de dos cantidades. Incluso aparece por primera vez la idea de una aritmética usando coma flotante. (Ver el artículo de Randell, Brian de 1992 basado en una conferencia dada en el MIT)

El primer juego de ordenador

El Ajedrecista (2º modelo)
El Ajedrecista (2º modelo)

En 1912 Torres Quevedo presentó un autómata que jugaba al ajedrez: El Ajedrecista. Considerado el primer juego de ordenador de la historia, ganaba de forma inexorable un final de rey y torre contra rey. El autómata movía la torre y el rey blancos y el humano el rey negro.
En esta primera versión el tablero estaba dispuesto en posición vertical y el autómata detectaba los movimientos del rey blanco por unos contactos que las piezas tenían en su base. Las piezas blancas se movían usando brazos articulados. En 1920 y con la colaboración de su hijo Gonzalo diseño una versión mejorada. El tablero estaba ahora en posición horizontal, y las piezas se movían mediante electro-imanes ocultos bajo el mismo. Si detectaba que el jugador hacía trampas se encendía una luz roja y a la tercera dejaba de jugar. En un gramófono, que se ve en la fotografía en la parte superior izquierda, se oía “Jaque al rey” en cada jaque de la torre y “Mate” al final de la partida.

La posición inicial de las piezas blancas era rey en a8 y torre en h7. El jugador humano podía situar el rey negro en cualquier fila inferior a la séptima, con la única condición de que no se pusiese en jaque. Continuar leyendo “El primer juego de ordenador de la historia”

¿Es posible superar la velocidad de la luz?

La respuesta a la pregunta que da título a esta entrada es sorprendentemente, SI. ¿Es una broma? No, vamos a demostrarlo.

En la figura se ve una barra inclinada cayendo, con una velocidad constante vc, con respecto a otro objeto, dibujado horizontal, en reposo.

superlumínico

A medida que la barra cae, el punto de intersección (vértice del ángulo que forman) con el objeto en reposo se mueve hacia la izquierda.

En la figura se muestra la barra que cae en dos instantes t1 y t2. En el tiempo que media entre t1 y t2 la barra cae una distancia a y el punto de intersección avanza una distancia b. En la figura a y b son los catetos del triángulo rectángulo dibujado en verde.

¿A qué velocidad se mueve el punto de intersección?

La velocidad de caída de la barra es

{v}_{c}=\frac{a}{{t}_{2}-{t}_{1}}

y la velocidad del punto de intersección

{v}_{i}=\frac{b}{{t}_{2}-{t}_{1}}

Si dividimos miembro a miembro las expresiones anteriores

\frac{{v}_{c}}{{v}_{i}}=\frac{a}{b}

y tenemos en cuenta que

\frac{a}{b} =\tan{\alpha}

podemos expresar la velocidad del punto de intersección, vi, en función de la velocidad de caída, vc, y del ángulo, α, que forman ambos objetos,

{v}_{i}=\frac{{v}_{c}}{\tan{\alpha}}

Si el ángulo es por ejemplo α = 1º y la velocidad de caída vc es 10000 km/s

{v}_{i}=\frac{10000}{\tan{1}} = 572900\text{ km/s}

La velocidad con que se mueve el punto de intersección supera la velocidad de la luz c = 300000 km/s

¿Algún problema con la Teoría de la Relatividad?

No hay ningún problema siempre que lo que se mueva sea una intersección. Si habría problema si lo que se moviese a una velocidad superlumínica fuese una partícula o un objeto como la barra que cae.
A medida que la velocidad, v, de un objeto aumenta con respecto a otro, su masa, m, medida desde un observador en este último crece según la siguiente ecuación

{m}=\frac{{m}_{0}}{{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}

c representa la velocidad de la luz y m0 la masa medida en reposo.
De la ecuación anterior se deduce que no se puede alcanzar la velocidad de la luz. A medida que v se acerca a c cuesta cada vez más acelerar al objeto ya que su masa crece sin límite.

Aunque sea perfectamente posible que la intersección, de nuestro ejemplo, se mueva más deprisa que la luz, no sería posible utilizar este hecho para transmitir información a una velocidad superior a c.

Más información

En esta entrada de la Wikipedia hay otros ejemplos de viajes superlumínicos.

Langue, V. N. 2022. Paradojas, sofismas y problemas recreativos de física. (Moscú: URSS)