Cubo de Rubik y Matemáticas

El cubo de Rubik además de ser uno de los rompecabezas más reconocibles universalmente y probablemente el juguete más vendido de la historia, sirve para divertirnos con las matemáticas que encierra. Podemos por ejemplo analizarlo con la teoría de grupos, una parte del álgebra abstracta con aplicaciones en campos tan dispares como la química inorgánica, la física de partículas o la criptografía.

Ernõ Rubik (Budapest, 1944) inventó el cubo en 1974, pensando en sus alumnos de arquitectura, cuando era profesor en Budapest.

Investigación y Ciencia Mayo 1981
Investigación y Ciencia Mayo 1981

A principios de la década de los 80 del siglo pasado el cubo alcanzó el primer pico de su fama. El número de marzo de 1981 de la revista Scientific American lo incluía en su portada. Douglas Hofstadter le dedicaba su columna Metamagical Themas en la que, con una extensión bastante más larga de lo habitual, analizaba el fenómeno del cubo.

Con el vencimiento de la patente original en el año 2000 surgieron otros fabricantes, especialmente chinos, que han desarrollado versiones del cubo con mecanismos muy mejorados que permiten resolverlo en tiempos increíbles.

Feliks Zemdegs
Feliks Zemdegs

Desde principios del presente siglo la World Cube Association y sus delegaciones nacionales organizan competiciones relacionadas con el cubo de Rubik y muchas de sus variantes. En su web se pueden consultar los récords actuales.

En el momento de escribir esta entrada, el chino Yusheng Du tiene el record absoluto en 3,47 s (Wuhu 2018) y el australiano Feliks Zemdegs el record de promedio de 5 resoluciones en 5,53 s (Sidney 2019).

otros cubos
otros cubos

Además del cubo original de Rubik 3x3x3, en cualquier tienda especializada es fácil encontrar cubos desde 2x2x2 hasta 15x15x15 y superiores así como una multitud de interesantes variaciones.

variantes del cubo
variantes del cubo

¿Cómo es el cubo de Rubik?

Un Cubo de Rubik es, aparentemente, un conjunto de 27 cubitos apilados en tres capas de 9 cubitos cada una. El cubito central, que no se ve, realmente no existe

Cubo resuelto
Cubo resuelto

Los 26 cubitos que se ven se pueden clasificar según el número de sus caras visibles:
Centros (6): una sola cara visible.
Aristas (12): dos caras visibles.
Vértices (8): tres caras visibles.
Cada cara puede girar, en torno a su centro, de forma independiente y en ambos sentidos, horario y antihorario. De las misma manera pueden girar las tres capas interiores: las dos verticales y la horizontal.
Los cubitos que están en el centro de cada cara definen el color de la misma ya que su posición, relativa a los otros centros, no cambia cuando las caras o capas giran. Basándose en esto se puede definir una orientación para el cubo que permanece a pesar de los giros de sus caras o capas.
Los cubos actuales suelen tener las caras pintadas de la manera siguiente: Delante: blanco, Detrás: amarillo, Izquierda: verde, Derecha: azul, Arriba: naranja, Abajo: rojo.

¿De cuantas formas se puede montar un cubo?

Si desmontamos un cubo, mezclamos los cubitos y montamos el cubo a oscuras ¿cuál es la probabilidad de que al encender la luz el cubo esté ordenado?
Para contestar a la pregunta anterior hay que contestar primero a la siguiente:


¿De cuantas formas se puede montar un cubo a partir de sus piezas? No se consideran distintas dos formas si se puede pasar de una a la otra girando el cubo completo.
Contemos:
Para situar el primer vértice disponemos de 8 lugares, para el segundo vértice solo 7 y así sucesivamente hasta que llegamos al último, para el que solo queda un lugar en el que situarlo:

8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 8!

Para situar la primera arista podemos escoger entre 12 lugares distintos, para la segunda 11 y así sucesivamente hasta llegar a la última para la que solo quedara una posibilidad:

12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 12!

Cada una de las 8 esquinas se puede orientar de 3 formas distintas:

38

Cada una de las 12 aristas admite dos orientaciones:

212

Teniendo en cuenta lo anterior, el número de maneras diferentes de montar un cubo será:

8! · 12! · 38 · 212 = 519024039293878272000 ≈ 5,19 · 1020

Por tanto la probabilidad buscada de que al encender la luz el cubo esté ordenado es:

{\frac{1}{519024039293878272000}} \

Como se verá más abajo, no todos estos estados diferentes se pueden alcanzar girando las caras del cubo desde la posición inicial. Por esta razón, al montar el cubo, después de haberlo limpiado por ejemplo, conviene hacerlo en la posición ordenada, a menos que queramos alcanzar estados como los de la imagen, imposibles de conseguir de otra manera.

estados imposibles
Estos estados serían inalcanzables desde un cubo ordenado
(… si las caras no visibles estuviesen ordenadas)

Cosas que no se pueden hacer con un cubo

Realizando únicamente giros estándar NO es posible:

  1. Intercambiar la posición de dos cubitos sin que otros se muevan también [1]
  2. Girar únicamente una esquina sin que alguna otra se mueva también [2]
  3. Voltear una arista sin mover otras [3]
Aristas intercambiadas
Aristas intercambiadas
Imposible [1]
Vértice girado
Vértice girado
Imposible [2]
Arista volteada
Arista volteada
Imposible [3]
Estados inalcanzables desde un cubo ordenado.
(En las imágenes las caras que no se ven están ordenadas)

Vamos a justificar las afirmaciones anteriores.
Empecemos con unas definiciones:

  • Un cubículo es el hueco en el cubo donde se aloja un cubito.
  • La cara principal de un cubículo es la superior o la inferior y si no tiene ninguna de las dos visibles, la izquierda o la derecha.
  • El color principal de un cubito es el de su cara principal cuando el cubito se encuentra es su cubículo original en el cubo ordenado.
  • Si un cubito tiene su color principal en la cara principal del cubículo en el que se encuentra, está en su estado normal, en caso contrario está volteado si es una arista, o girado si es un vértice.
  • Una arista puede estar normal o volteada, sin embargo un vértice tiene tres posibilidades, estar normal, girado en sentido horario o girado en sentido antihorario.

¿Cómo cambia la principalidad de un cubito cuando giran las caras del cubo?

  • Si gira la cara superior, o inferior, no cambia la principalidad de ningún cubito.
  • Si gira la cara frontal, o trasera, cambia la principalidad de 4 vértices.
  • Si gira la cara izquierda, o derecha, cambia la principalidad de 4 vértices y 4 aristas
Cambios en la principalidad
Cambios en la principalidad según los giros de las caras:
Superior/Inferior, Frontal/Trasera, Izquierda/Derecha

Como cada giro cambia un número par de aristas,

El número total de aristas volteadas tiene que ser par [4]

De la afirmación anterior se deduce la imposibilidad [3]

En cada giro se producen igual número de giros de vértices en sentido horario que antihorario.

Contando los giros en sentido horario como +1 y los giros en sentido antihorario -1:

El número total de giros de vértices ha de ser múltiplo de 3 [5]

De la afirmación anterior se deduce la imposibilidad [2]

Cuando se gira una, o varias caras en secuencia, normalmente algunos cubitos se encuentran en cubículos distintos a los de partida. Si no tenemos en cuenta los posibles cambios de orientación que se hayan producido, al cambio producido en la posición de los cubitos le denominaremos una permutación.
En un giro de una de las caras, 4 aristas y 4 vértices cambian de cubículo.

En el dibujo que sigue se numeran los 9 cubitos de una de las caras del cubo, 4 vértices (1,3,7,9), 4 aristas (2,4,6,8) y un centro (5) y se muestra como cambian cuando la cara gira en sentido horario.

Permutación
Permutación

Los cuatro vértices y las cuatro aristas cambian su ubicación, el centro no cambia. La permutación podemos representarla mediante el diagrama siguiente:

1 3 9 7 5 2 6 8 4
3 9 7 1 5 1 6 8 4 2

Una forma alternativa de representar la permutación es mediante un conjunto de intercambios de dos cubitos, que llamaremos transposiciones. Por ejemplo los cambios en los vértices, se pueden conseguir con las transposiciones siguientes (1,3), (3,9) y (9,7), que se muestran en la figura. Se observa que las nuevas posiciones de los vértices como resultado de las tres transposiciones son las mismas que con el giro de la cara.

transposiciones
Aunque esta representación mediante transposiciones no es única, por ejemplo las transposiciones (7,1), (1,3) y (3,9) producen el mismo efecto, lo que si es único es el número de transposiciones necesarias. En este caso 3.

Los cambios en la posición de las aristas, de la misma forma se pueden representar mediante 3 transposiciones. Consecuentemente, la permutación resultante del giro de una cara se puede representar mediante 6 transposiciones.

El número de transposiciones, par o impar, de una permutación, permite clasificar las permutaciones en pares o impares.

La permutación resultante del giro de una cara es por tanto una permutación par.

Dado que cualquier secuencia de movimientos del cubo está formada por giros sucesivos de caras, el tipo de permutación a la que da lugar cualquier secuencia será de tipo par.

No es posible alcanzar con giros estándar una permutación impar [6]

de la afirmación anterior se deduce [1]

La única manera de alcanzar un estado que suponga una permutación impar, por ejemplo un intercambio de 2 cubitos exclusivamente, pasaría por desmontar el cubo y montarlo en cualquier estado que suponga una permutación también impar. Desde ese nuevo estado tendríamos acceso a todas las permutaciones impares inalcanzables desde el estado original del cubo.

¿Cuántos estados diferentes puede adoptar un cubo?

Hemos visto que un cubo se puede montar a partir de sus piezas en

E = 8! · 12! · 38 · 212 = 519 024 039 293 878 272 000 estados diferentes [7]

¿Cuántos de estos estados son alcanzables partiendo de un cubo ordenado realizando únicamente giros estándar?

La afirmación [4] divide a E por 2. La afirmación [5] divide también E por 2 y por último la afirmación [6] divide a E por 3.

El número de estados posibles en un cubo es entonces,

Estados posibles = {\frac{8! \cdot 12! \cdot 3^8 \cdot 2^{12} }{2 \cdot 2 \cdot 3}} \ = 227· 314 · 53 · 72 · 11 =

43 252 003 274 489 856 000

Un poco de Notación

Para representar los movimientos del cubo, se ha impuesto como estándar la notación propuesta por David Singmaster, matemático británico y metagrobologista, que fue el primero en analizarlo desde un punto de vista matemático. (Ver bibliografía).

Cara que gira 90º horario 90º anti-horario 180º
Delantera (Front) F F’ F2
Trasera (Back) B B’ B2
Superior (Up) U U’ U2
Inferior (Down) D D’ D2
Izquierda (Left) L L’ L2
Derecha (Right) R R’ R2

El inverso de una secuencia dada S se representa por S-1 y su repetición un número n de veces por Sn. Si se explicitan los giros que forman la secuencia, se usan paréntesis, por ejemplo (LR’D)-1 o (F2R2)6.

El cubo y la Teoría de Grupos

Para estudiar el Cubo desde un punto de vista matemático, se dispone de una herramienta que debemos Evarist Galois, matemático francés muerto en un duelo a los 21 años el 30 de mayo de 1832. La herramienta en cuestión es el concepto de grupo, que Galois desarrolló buscando formulas algebraicas para la solución de ecuaciones polinómicas del tipo de la que todos conocemos para resolver una ecuación de segundo grado. Por cierto, demostró que la búsqueda era infructuosa para la mayoría de las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 4.

¿Qué es un grupo?

Un grupo es un conjunto, G, de «cosas» y una operación ‘*’ que combina dos elementos x, y del conjunto G para dar un tercer elemento z, también de G. Para que el conjunto G con la operación ‘*’ formen un grupo, representado por (G,*) se han de cumplir as condiciones siguientes:

‘*’ es una operación interna
La condición ya mencionada:
Si combinamos un par x, y de elementos de G mediante la operación ‘*’,
x*y = z
el resultado z, también tiene que pertenecer al conjunto G

Propiedad Asociativa
Cualquier trio de elementos x, y, z del conjunto G ha de cumplir,
(x*y)*z = x*(y*z)

Elemento identidad
En G debe haber un elemento e, denominado identidad, tal que para cualquier elemento x del conjunto G se cumple,
x*e = e*x = x

Elemento inverso
Para cada elemento x en G hay un elemento inverso y en G tal que
x*y = y*x = e, siendo e el elemento identidad.

Un grupo es conmutativo o abeliano si el orden en que se hacen las operaciones no importa, esto es, para cualquier par de elementos de G se cumple que x*y = y*x

El grupo del cubo, Gc

En el cubo, los elementos de Gc son todas las posibles secuencias de movimientos (tanto las simples, giro de una cara, como las compuestas, giro de varias caras de forma consecutiva). Dadas dos secuencias de movimientos S1 y S2, la operación,*, del grupo, S1* S2, consiste en realizar S1 y a continuación S2.

Se cumplen las condiciones que se exigen para que Gc sea un grupo,

Operación interna
Si S1 y S2 son dos secuencias de R, S1 * S2 también es una secuencia que pertenece a Gc

Elemento identidad

El elemento ‘e’ sería ‘no hacer nada’ con lo que para cualquier secuencia S, se cumple que,
S * e = e * S = S
(Hacer una secuencia S y luego no hacer nada da el mismo resultado que no hacer nada y realizar S o realizar S simplemente)

Propiedad Asociativa
Dado cualquier trío de secuencias S1, S2 y S3 pertenecientes a Gc, es obvio que,
(S1 *S2)*S3 = S1*(S2*S3)

Elemento inverso
Si se realiza un movimiento S que consiste en el giro de una cara, es posible deshacer su efecto girando la misma cara en sentido contrario al primero. Esta operación inversa a S, se representa por S-1. Por ejemplo, si giramos la cara superior 90º en sentido horario, U, y queremos deshacer lo hecho, tendríamos que volver a girar la cara superior 90º pero en sentido anti-horario, U’.
Si el movimiento S es una secuencia con varios giros, para deshacer su efecto habría que realizar en orden inverso todos los inversos de los movimientos que forman S.
Por ejemplo si S consiste en tres movimientos: giro horario de 90º de la cara derecha, R, giro anti-horario de 90º de la cara de abajo, D’ y giro de 180 º de la cara de izquierda L2,
S = RD’L2
El elemento inverso, S-1, que deshace el efecto de S sería,
S-1 = L2DR’

O sea que para cualquier secuencia S hay una S1 tal que S*S1 = S1*S = e

El grupo del cubo no es conmutativo ya que si dos secuencias se realizan en orden inverso el resultado puede ser diferente. Por ejemplo, R*U ≠ U*R

Si dos secuencias de Gc producen el mismo efecto en el cubo, se consideran la misma, por tanto si partimos del cubo ordenado, cada una de las secuencias de Gc producirá un estado diferente del cubo. El número de elementos de un grupo se denomina orden.

El número de elementos de Gc lo hemos calculado arriba, por tanto,

El orden de Gc es 227· 314 · 53 · 72 · 11 = 43 252 003 274 489 856 000.

Un buen lugar para comenzar

Una forma de comenzar a familiarizarse con el cubo es limitar las secuencias permitidas a un subconjunto de todas las posibles. Esto se puede conseguir usando subgrupo de Gc. Un subgrupo de Gc es cualquier subconjunto de Gc, que siga cumpliendo las condiciones exigidas a Gc, esto es que siga siendo un grupo.

Las secuencias permitidas se denominan generadores del subgrupo. Por ejemplo:

    1. Giros de 180º de 2 caras contiguas. Si las caras son por ejemplo la frontal y la derecha, los movimiento posibles son F2 o R2. Este subgrupos tiene 12 elementos. [Una secuencia interesante en este subgrupo es: (F2R2)6]
    2. Giros de capas.
      Estos cuatro subgrupos son un buen punto de partida. No es difícil, aun sin saber resolver el cubo, volver al estado ordenado. Varios de sus elementos dan lugar a bonitos patrones.
      El giro de capas da lugar a 4 subgrupos:

      1. Podemos girar las tres capas 90º. Los giros posibles son (RL’), (FB’) y (UD’). Tiene 768 elementos.
      2. Una de las capas gira 180 º. Los giros posibles son (R2L2), (FB’) y (UD’). Tiene 192 elementos.
      3. Dos de las capas giran 180 º. Los giros posibles son (R2L2), (F2B2) y (UD’). Tiene 32 elementos.
      4. Las tres capas han de girar 180º. Los giros posibles son (R2L2), (F2B2) y (U2D2).Tiene 8 elementos.
patron subgrupo capas 1 patron subgrupos capas 2 patron subgrupos capas 3

Patrones obtenido con los subgrupos generados con giros de capas

Otros subgrupos:

Generador Orden (n.º de elementos)
R2, L2 4
R2, L 8
R, L 16
F2, R2 12 Mencionado arriba
F2, R 14 400
F, R 73 483 200
F2, R2, U2 2 592
F, R, U 170 659 735 142 400
F, B, R, L, U, D 43 252 003 274 489 856 000 El grupo del cubo

Subgrupo cíclico

Si, comenzando con un cubo ordenado, repetimos una secuencia S un cierto número de veces, n, y volvemos al cubo ordenado, hemos generado un subgrupo cíclico de orden n. A la secuencia S se le denomina generador. Por ejemplo

Generador Orden (n.º de elementos)
R2 2 Simple pero de poco interés
R 4
(F2R2) 6
(FR) 105
(F2R2L2) 96
(RU2D’BD’) 1260 Subgrupo cíclico de mayor orden

Como consecuencia del Teorema de Lagrange [Si G es un grupo finito de orden n y H es un subgrupo de orden m, entonces m es divisor de n], todos los órdenes de los subgrupos de Gc son divisores del orden de Gc , que como hemos visto es 43 252 003 274 489 856 000 = 227· 314 · 53 · 72 · 11.

Si g es un elemento de un grupo G, se denomina orden de g al menor entero positivo m que cumple que gm = e. Esto es equivalente a afirmar que el orden de una secuencia S de Gc es el del grupo cíclico del que S es generador. Así R tiene orden 4, y (F2R2) orden 6.

El máximo orden de un elemento de Gc es 1260.

De esto último se deduce que,

Si a partir de un cubo ordenado repetimos una secuencia cualquiera, 1260 veces como máximo, volveremos al cubo ordenado.

J. B. Butler encontró una secuencia relativamente corta, (RU2D’BD’), con orden 1260.

En el documento Group Theory via Rubik’s Cube de Tom Davis puedes encontrar muchos más subgrupos interesantes que investigar. Así como mucha información, dirigida a estudiantes y profesores, relacionando cubo y matemáticas.

El número de Dios

John Conway acuño el término número de Dios para referirse al número máximo de giros que se necesitan para pasar desde cualquiera de los estados posibles hasta el estado ordenado, en pocas palabras, para resolver el cubo. Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, y John Dethridge demostraron en julio de 2010 que el número de Dios es 20. En agosto de 2014 Tomas Rokicki y Morley Davidson demostraron que si contamos como 2 los giros de 180º el número de Dios es 26.

Mucha más información sobre esto en https://cube20.org/

Para saber más

Una lectura imprescindible si te interesa el mundo del cubo es el artículo de Douglas Hofstadter, Magic Cubology, publicado en el número de marzo de 1981 de la revista Scientific American, en la sección Metamagical Themas. La versión española de la revista, Investigación y Ciencia, lo incluyó en el número de mayo de ese año.

La mencionada columna, junto con On Crossing the Rubicon publicada en Scientific American en julio de 1982 y dedicada a las variantes del cubo, se encuentran también en la siguiente recopilación de artículos de Hofstadter,

  • Metamagical Themas. HofstadterHofstadter, D. 1985. Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern. Penguin Books.

Una buena introducción al mundo del cubo, su historia, derivados, curiosidades, anécdotas. Con buenas ilustraciones y soluciones detalladas y fáciles de seguir al 2x2x2, 3x3x3, 4x4x4, 5x5x5, 6x6x6, 7x7x7,

  • Slocum, J., D. Singmaster, W. Huang, D. Gebhardt, G. Hellings, E. Rubik. 2009. The Cube: The Ultimate The Cube. The Ultimate GuideGuide to the World’s Bestselling Puzzle. Black Dog & Leventhal.
    Especialmente interesante el capítulo 2, la historia del cubo contada por David Singmaster.

Hablando de Singmaster, otra referencia obligada en la historia del cubo es,

  • Notas SingmasterSingmaster, D. 1979. Notes on the «Magic Cube«. Publicado por el autor.
    Posteriormente publicado en 1981 por Penguin en Gran Bretaña y por Enslow Publisher en USA con el nombre Notes on Rubik’s «Magic Cube»
    Uno de los primeros análisis de las matemáticas del cubo y como utilizarlas para resolverlo.
    Hay edición en español:
  • Singmaster, D. 1981. Notas sobre el cubo de Rubik. Altalena.

La recopilación siguiente, que incluye un primer capítulo escrito por el compendium rubik et alpropio Rubik, contiene la forma de resolverlo, las matemáticas que están detrás, la psicología del cubo, y más. La introducción y un largo epílogo sobre las variantes corren a cargo del omnipresente David Singmaster,

  • Rubik, E., T. Varga, G. Kéri, G. Marx y T. Vekerdy. 1987. Rubik’s Cubic Compendium. Oxford University Press.

puzzle it out ewingSi estás interesando en las matemáticas del cubo,

  • Ewing, J. Y C. Kośniowki. 1982. Puzzle it out. Cambridge University Press.
    Breve y sencilla introducción a las matemáticas del cubo y sus derivados. Buenas ilustraciones.
  • handbook cubik math freyFrey , A. H. JR. y D. Singmaster. 1982. Handbook of Cubik Math. Enslow Publisher.
    Más profundidad que el anterior. Se lee con facilidad. Muchos ejercicios con soluciones.
  • Bandelow, C. Inside Rubik’s Cube and Beyond. 1982. Birkhäuser.
    Otra buena introducción a las inside rubik cube bandelowmatemáticas y como utilizarlas para resolverlo. Bien escrito y de fácil lectura, si uno se encuentra a gusto con el lenguaje matemático.
  • Joyner D. 2002. Adventures in Group Theory. Rubik’s Cube, Merlin’s Machine & Other Mathematical Toys. The Johns Hopkins University Press.
    Una forma divertida de profundizar un poco en la Teoría de Grupos. Imprescindible adventures in group theory joynerfamiliaridad con lenguaje matemático.

Cosas que no se pueden hacer con un cubo está básicamente tomado de,

  • Berlekamp, E.R., J.H. Conway y R.K. Guy. 2004. Winning Ways for your mathematical Plays. Volumen 4. Págs. 868-876. A K Peters.winning ways berlekamp et al

 

Si solo te interesa resolver el cubo y/o la velocidad,

  • Harris D. 2008. Speedsolving The Cube. Sterling.
    Incluye solución 3x3x3 para principiantes así como métodos que priorizan la velocidad. Incluye solución 2x2x2, 4x4x4 y 5x5x5speddsolving harris

Recursos en la red

  • Jamie Mulholland, profesor de matemáticas en la Universidad Simon Fraser imparte el curso Permutation Puzzles: A Mathematical Perspective. En su web se puede descargar un libro con el material del curso. [Se distribuye con licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 License]
  • En la página de la profesora de matemáticas Janet Chen de la Universidad de Harvard se pueden descargar las notas que elaboró para un curso de 2 semanas sobre la Teoría de Grupos y el cubo de Rubik [Se distribuye conlicencia: Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. ]
  • Sitio oficial del Cubo de Rubik
  • World Cube Association

Algunos fabricantes de cubos de velocidad

Sitios donde comprar buenos cubos

 

Entrada in memoriam de John Horton Conway al que tanto debemos los aficionados a la matematica recreativa

«I used to feel guilty in Cambridge that I spent all day playing games, while I was supposed to be doing mathematics. Then, when I discovered surreal numbers, I realized that playing games IS math.»
John Horton Conway (1937-2020)

Una de las geniales invenciones de Conway: El juego de la vida
Una de las geniales invenciones de Conway:
El juego de la vida

Deja un comentario