La constante de Kaprekar

Empecemos con un experimento

  1. Elige un numero de cuatro cifras, en el que no sean las cuatro iguales. Puede haber ceros a la izquierda.
  2. Reordena las cuatro cifras para formar el mayor y el menor número que sea posible con esas cuatro cifras:
  3. Resta el mayor del menor completando, si es necesario, con ceros a la izquierda hasta las cuatro cifras.
  4. Repite el proceso con este nuevo número desde el paso 2.

Sea cual sea el número de partida, en 7 iteraciones o menos llegarás al número 6174 que se repetirá si sigues el proceso.

Veamos como funciona con un ejemplo.

Número elegido: 1729

  1. 9721 – 1279 = 8442
  2. 8442 – 2448 = 5994
  3. 9954 – 4599 = 5355
  4. 5553 – 3555 = 1998
  5. 9981 – 1899 = 8082
  6. 8820 – 0288 = 8532
  7. 8532 – 2358 = 6174
  8. 7641 – 1467 = 6174

Kaprekar

Dattatreya Ramachandra Kaprekar
Dattatreya Ramachandra Kaprekar

El número 6174 recibe el nombre de constante de Kaprekar y el procedimiento operación de Kaprekar, en honor a su descubridor, el matemático indio D. R. Kaprekar (1905–1986), conocido en los círculos de matemática recreativa, ya que además de descubrir la constante que lleva su nombre describió varios tipos de números como son los de Kaprekar, Harshad y los auto números.

Con números de tres cifras sucede algo parecido. Si realizamos la operación de Krapekar llegaremos siempre al mismo número, que en este caso es 495. Por ejemplo si empezamos con 231:

  1. 321 – 123 = 198
  2. 981 – 189 = 792
  3. 972 – 279 = 693
  4. 963 – 369 = 594
  5. 954 – 459 = 495
  6. 954 – 459 = 495

A 6174 y 495 se les denomina núcleos para la operación de Kaprekar. Esto es, números que se reproducen a si mismos cuando se realiza sobre ellos la operación de Kaprekar.

¿Qué sucede con otro número de dígitos?

¿Existen núcleos para números con 2 o más de 4 cifras? En la tabla siguiente se recogen algunos resultados:

Nº de dígitos Núcleo
2 No hay
3 495
4 6174
5 No hay
6 549945, 631764
7 No hay
8 63317664, 97508421
9 554999445, 864197532
10 6333176664, 9753086421, 9975084201

Es interesante destacar que este comportamiento de los núcleos en la operación de Kaprekar no es una propiedad de los números en si, como podría ser el hecho de ser primo, sino de su representación en base 10.
Por ejemplo, en base 10 no hay núcleos de 5 cifras pero en base 3 el número 202113 [18410] es un núcleo ya que:

221103 [22810] – 011223 [4410] = 20211 [18410]

Una pregunta

¿Por qué todos los núcleos de la tabla anterior son múltiplos de 9?

Más información

  • Gardner, M. 1986. Los mágicos números del Doctor Matrix. (Barcelona: Gedisa)
  • Lines, M.E. 1986. A number for your thoughts. (Bristol: Adam Hilger)
  • Nishiyama, Y. 2013. The Mysterous Number 6174. (Gendai Sugakusha: Kyoto)
  • Nishiyama, Y. 2006. Mysterious number 6174.

 

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