Un juego de dados

dados no transitivos
En los tres dados las caras opuestas tienen los mismos números

El juego

Consideremos el siguiente juego con dados entre dos jugadores:

  • El primer jugador escoge uno de los dados de la figura adjunta y lo hace rodar.
  • El segundo jugador hace rodar uno de los dados que quedan.
  • Gana el jugador que haya sacado un número mayor.

¿Tiene ventaja alguno de los dos jugadores?

Sin analizar en detalle los dados, el sentido común parece indicarnos que la posibilidad que tiene el primer jugador de elegir entre los tres dados le da ventaja. Sorprendentemente es el segundo jugador el que siempre tiene ventaja, ganará 5 de cada 9 veces si hace la elección adecuada.

¿Donde está el truco?

Recordemos lo que es una relación transitiva con un ejemplo. Entre las personas, la relación “pesa más” es transitiva:
Dadas tres personas cualesquiera Juan, José y Pedro siempre se cumple que si Juan pesa más que José y José pesa más que Pedro entonces necesariamente Juan pesa más que Pedro.
Siguiendo con personas, una relación no transitiva sería por ejemplo: “ser padre de”.

Volvamos a los dados, a pesar de lo que la intuición pueda sugerirnos, la relación “tener más probabilidad de que salga un número mayor cuando rueda” no es transitiva entre los dados de la figura, ya que:

  • la probabilidad de que en el dado rojo salga un número mayor que en el verde es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado verde salga un número mayor que en el azul es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado azul salga un número mayor que en el rojo es 5/9

O sea que aunque la probabilidad del dado rojo es mayor que la del verde y la del verde es mayor que la del azul, la de rojo no es mayor que la del azul sino todo lo contrario.

Por tanto el segundo jugador tiene ventaja ya que siempre puede elegir un dado con probabilidad más elevada de que salga un número mayor que la del dado elegido por el primer jugador.

Más información

Martin Gardner le dedicó una columna de Mathematical Games [The Paradox of the Nontransitive Dice and the Elusive Principle of Indifference.” Scientific American 223, 110-114, Dec. 1970]. Se puede leer en :

  • Gardner, Martin. Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. 1985. (Barcelona:Labor)

Puedes encontrar más tipos de dados no transitivos y análisis detallado de la probabilidad de cada uno en :

 

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