Magia Telepática

Con la aplicación Magia telepática y una baraja francesa es posible realizar un sorprendente truco de magia. El truco originalmente fue popularizado por Persi Diaconis y Ron Graham en su libro Magical Mathematics. La versión que aquí se presenta facilita su ejecución ya que no exige memorizar nada. Es la aplicación la que se encarga del trabajo duro.

¿Cómo se hace el truco?

El mago saca una baraja de su caja y se la pasa a varios espectadores para que la corten. Después del último corte reparte las 5 cartas superiores entre el público.

El mago saca entonces un teléfono y dice disponer de una aplicación experimental que tiene capacidades telepáticas. La aplicación está todavía en fase de desarrollo, dice el mago, y todavía no puede distinguir bien los colores de las cartas. Debido a esta circunstancia pide a cada uno de los espectadores que han recibido una carta que diga si es negra o roja. Mientras lo van haciendo el mago dirige su móvil hacía ellos dando la sensación de que los está escaneando.

Cuando los 5 espectadores han acabado de decir el color de su carta, el mago muestra la pantalla de su teléfono. En ella  aparecen las 5 cartas que tienen los espectadores.

Explicación

Preparación

De una baraja francesa se seleccionan las 32 cartas siguientes y se disponen en el orden en que se muestran,

8♣ A♣ 2♣ 4♣ A♠ 2♦ 5♣ 3♠
6♦ 4♠ A♥ 3♦ 7♣ 7♠ 7♥ 6♥
4♥ 8♥ A♦ 3♣ 6♣ 5♠ 3♥ 7♦
6♠ 5♥ 2♥ 5♦ 2♠ 4♦ 8♠ 8♦

Desarrollo

App magia telepática
App magia telepática

Se procede como se describe más arriba en el apartado ¿Cómo se hace el truco?. Cuando el mago reparte las cartas les asigna mentalmente un número del 1 al 5. Para luego poder recordar fácilmente este número, el reparto se ha de realizar siguiendo un cierto orden, por ejemplo desde la izquierda hacia la derecha de la sala. Cuando cada espectador va diciendo el color de su carta, y el mago aparenta escanear la mente del espectador, lo que hace realmente es pulsa el botón correspondiente al número de la carta si el espectador dice que la suya es roja.

App magia telepática
App magia telepática

Al acabar con la 5ª carta, el mago pulsa el botón LISTO y es en ese momento, al aparecer solo las 5 cartas, como se ve en la captura de la derecha, cuando enseña la pantalla del móvil al público.

Puedes descargar la aplicación desde el enlace que sigue,

Disponible en Google Play
Magia telepática esta disponible en Google Play

 

 

¿Por qué funciona?

Sucesiones de de Bruijn

Una sucesión de de Bruijn de orden n que usa un alfabeto de k símbolos, abreviadamente B(k,n) es una sucesión cíclica en la que todas las subsucesiones posibles de longitud n ocurren una y sola una vez. El nombre hace referencia al matemático holandes Nicolaas Govert de Bruijn (1918-2012).

Hay {\frac {\left(k!\right)^{k^{n-1}}}{k^{n}}} \ sucesiones de de Bruijn B(k,n) diferentes.

Por ejemplo, una sucesión de de Bruijn de orden 2 que usa un alfabeto de 2 símbolos, R y N, sería RNNR. Qué la sucesión sea cíclica quiere decir que a la última R le sigue la primera R como se ve en la siguiente figura. Empezando por la N a la izquierda y siguiendo el sentido de las agujas del reloj nos vamos encontrando las cuatro posibles subsucesiones de 2 símbolos que son NR,RR,RN y NN.

 

sucesión de deBruijn b(2,5)
Sucesión de de Bruijn B(2,2)

Sucesión de de Bruijn B(2,5)

Una sucesión de de Bruijn B(2,5) tiene una longitud de 25 =32. Este número es también el de las subsucesiones diferentes de 5 elementos que contiene. Hay 2048 sucesiones B(2,5) posibles. Usando el mismo alfabeto anterior {R,N} una de ellas es la siguiente,

NNNNNRNNRNRRNNRRRRRNNNRRNRRRNRNR

Sucesión de bruijn b(2,5)
Sucesión de de Bruijn B(2,5)

En la sucesión anterior aparecen una sola vez todas las subsucesiones posibles de 5 elementos como por ejemplo, NNRRR o RNNNR.

Si se toman 32 cartas de una baraja francesa, 16 rojas y 16 negras, y se ordenan de tal forma que los colores de sus cartas reproduzcan la sucesión anterior, como la sucesión es cíclica, es posible cortar todas las veces que se quiera sin que la sucesión se altere.

Con una baraja así preparada, si somos capaces de memorizarla, se pueden identificar 5 cartas consecutivas cualesquiera solo con conocer el orden de sus colores, ya que como se ha visto es único.

Persi Diaconis y Ron Graham en su libro Magical Mathematics presentan la sucesión B(2,5) anterior usando las 32 cartas y el orden que se muestra en la tabla que se puede ver más arriba.

Con esta disposición de cartas concreta (no solo de colores), Diaconis y Graham explican cómo es posible, sin tener que memorizar toda la sucesión, deducir las cinco cartas.

Con esta aplicación el truco se simplifica ya que el mago no necesita memorizar nada. Se utiliza la misma disposición de cartas que utilizan Diaconis y Graham en su libro por si alguien se anima utilizar su método. En la app, dado que es ella la que memoriza la disposición de las cartas, se podría haber utilizado cualquier otras con la única condición de que siguiese la sucesión de colores indicada por una de las 2048 sucesiones B(2,5)

Para saber más

  • Diaconis P., R. Graham.2012. Magical Mathematics. Princeton University Presss.
  • DivulgaMat: Sucesiones De Bruijn

 

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Un juego de dados

dados no transitivos
En los tres dados las caras opuestas tienen los mismos números

El juego

Consideremos el siguiente juego con dados entre dos jugadores:

  • El primer jugador escoge uno de los dados de la figura adjunta y lo hace rodar.
  • El segundo jugador hace rodar uno de los dados que quedan.
  • Gana el jugador que haya sacado un número mayor.

¿Tiene ventaja alguno de los dos jugadores?

Sin analizar en detalle los dados, el sentido común parece indicarnos que la posibilidad que tiene el primer jugador de elegir entre los tres dados le da ventaja. Sorprendentemente es el segundo jugador el que siempre tiene ventaja, ganará 5 de cada 9 veces si hace la elección adecuada.

¿Donde está el truco?

Recordemos lo que es una relación transitiva con un ejemplo. Entre las personas, la relación “pesa más” es transitiva:
Dadas tres personas cualesquiera Juan, José y Pedro siempre se cumple que si Juan pesa más que José y José pesa más que Pedro entonces necesariamente Juan pesa más que Pedro.
Siguiendo con personas, una relación no transitiva sería por ejemplo: “ser padre de”.

Volvamos a los dados, a pesar de lo que la intuición pueda sugerirnos, la relación “tener más probabilidad de que salga un número mayor cuando rueda” no es transitiva entre los dados de la figura, ya que:

  • la probabilidad de que en el dado rojo salga un número mayor que en el verde es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado verde salga un número mayor que en el azul es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado azul salga un número mayor que en el rojo es 5/9

O sea que aunque la probabilidad del dado rojo es mayor que la del verde y la del verde es mayor que la del azul, la de rojo no es mayor que la del azul sino todo lo contrario.

Por tanto el segundo jugador tiene ventaja ya que siempre puede elegir un dado con probabilidad más elevada de que salga un número mayor que la del dado elegido por el primer jugador.

Más información

Martin Gardner le dedicó una columna de Mathematical Games [The Paradox of the Nontransitive Dice and the Elusive Principle of Indifference.” Scientific American 223, 110-114, Dec. 1970]. Se puede leer en :

  • Gardner, Martin. Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. 1985. (Barcelona:Labor)

Puedes encontrar más tipos de dados no transitivos y análisis detallado de la probabilidad de cada uno en :

 

Paridad: un concepto matemático simple pero poderoso

Hay ciertas ideas matemáticas como por ejemplo, la paridad que aunque simples son muy poderosas y aparecen en la solución de problemas complicados.

A continuación se expone un sencillo, aunque sorprendente, truco matemágico basado en la idea de paridad.

Efecto

El mago pide a un espectador que saque una moneda, el le da otra y le pide que:

  1. Sin que él lo vea guarde una en cada mano.
  2. Levante una mano, piense un número, se lo diga y a continuación lo multiplique por el valor de la moneda de la mano que ha levantado.
  3. Multiplique el valor de la moneda de la otra mano por un número que el mago le dice.
  4. Le diga el resultado de sumar los dos productos anteriores.

Inmediatamente el mago dice en que mano tiene cada una de las dos monedas.

Explicación

Los números enteros son o pares, divisibles por 2, o impares, no divisibles por 2. Si están representados en el sistema decimal, un número es impar si su última cifra es 1,3,5,7 o 9, y par en caso contrario.
Los números pares e impares cumplen las siguientes reglas:

Suma

par + par = par
par + impar = impar
impar + impar = par

Producto

par x par = par
par x impar = par
impar x impar = impar

  • El mago le da al espectador una moneda de distinta paridad que la que ha sacado él. (Así, por ejemplo, si el espectador saca una de 2 céntimos el mago le da por ejemplo una de 5 céntimos)
  • El mago le dice al espectador un número de distinta paridad que la del que ha dicho él. (Así, por ejemplo, si el espectador dice 87542 el número del mago podría ser 277)

Llamemos:
mi = valor de la moneda de la mano izquierda.
md = valor de la moneda de la mano derecha.
ni = número por el que se múltiplica el valor de la moneda de la mano izquierda.
nd = número por el que se múltiplica el valor de la moneda de la mano derecha.
pi = vmi x nmi (producto mano izquierda)
pd = vmd x nmd (producto mano derecha)
sf = suma final.

En la tabla se muestran los 4 casos posibles. P e I representan las paridades de los números

truco paridad con monedas

O sea que a partir de las paridades de sf, ni e nd podemos deducir en que mano esta cada moneda:

Si sf es impar, buscamos el producto impar (nd o ni) y a su lado está la mano que contiene la moneda de valor impar.

Si sf es par, buscamos el producto impar (nd o ni) y a su lado está la mano que contiene la moneda de valor par.

Si mi y/o md son elevados y al espectador se le deja una calculadora, el efecto será mayor ya que el mago, que solo se fija en la paridad de sf, sabe instantáneamente donde está cada moneda.

Dos problemas

A continuación un par de problemas que se pueden resolver rápidamente con la idea de paridad:

Problema 1

Encontrar 5 números impares cuya suma sea 20.

Problema 2
tablero ajedrez
tablero ajedrez

¿Puede un caballo de ajedrez que está en la casilla inferior izquierda del tablero ir a la casilla superior derecha pasando una sola vez por cada una de las casillas restantes?

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