Historias de matemáticos (II)

Anécdotas de Matemáticos celebres en relación con la Hipótesis de Riemann

Los propósitos de año nuevo de Hardy

G. H. Hardy (1877 – 1947) dedicó muchos de sus esfuerzos profesionales a la Hipótesis de Riemann (ver entrada anterior) tanto en solitario como en colaboraciónes con Littlewood o Ramanujan. No consiguió demostrarla pero si consiguió notables resultados como el demostrar que la función zeta tiene infinitos ceros no triviales cuya parte real es 1/2.

Se cuentan de Hardy algunas historias que muestran ese interés que durante toda su vida tuvo en la Hipótesis de Riemann. (ver Historias de matemáticos (I))

Godfrey Harold Hardy
Godfrey Harold Hardy

La necrológica que publica la revista Nature el 22 de mayo de 1948 en relación con su muerte recoge una lista de propósitos que éste había enviado a un amigo en una postal en los años 1920 con motivo del año nuevo:

  1. Demostrar la hipótesis de Riemann
  2. Hacer 211 sin estar eliminado en la cuarta entrada del último Test Match en el Oval
  3. Encontrar un argumento sobre la no existencia de Dios que convenciese al gran publico
  4. Ser el primer hombre en escalar el Monte Everest
  5. Ser proclamado el primer presidente de la USSR de Gran Bretaña y Alemania
  6. Asesinar a Mussolini

Obituaries. (1948, Mayo, 22). Prof. G.H. Hardy, F.R.S. Nature. Vol. 161. pag 798.

La Hipótesis de Riemann y el alumno de Hilbert

La hipótesis de Riemann junto con la conjetura de Goldbach constituyen el problema nº 8 de la famosa lista de 23 problemas que David Hilbert compiló para el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900.

En la pag 130 de Mathematical Circles Squared Howard Ewes cuenta la siguiente anécdota sobre David Hilbert:

David Hilbert
David Hilbert

“Hilbert tenía un alumno que un día le presentó un trabajo en el que pretendía demostrar la Hipótesis de Riemann. Hilbert que estudio el trabajo de forma minuciosa quedo impresionado por la profundidad de los argumentos; aunque desafortunadamente  encontró un error que invalidaba la demostración. Al año siguiente el alumno falleció. Los padres pidieron a Hilbert que dijese unas palabras en el funeral. Mientras los parientes y amigos del alumno se encontraban bajo la lluvia en torno a su tumba, Hilbert se adelanto. Empezó por referirse a la tragedia que representaba que una persona tan joven y con tantas capacidades falleciese antes de tener la capacidad de desarrollarlas. Pero, continuó, “… a pesar de que la demostración de la Hipótesis de Riemann de este joven contenga un error, es posible que algún día la demostración de este famoso problema se produzca siguiendo el camino que el fallecido ha indicado. De hecho”, continuó con entusiasmo, de pie en la lluvia frente a la tumba del alumno, ” sea f(z) una función de variable compleja z. Consideremos …”

Eves, Howard. 2003. Mathematical Circles: Revisited Mathematical and Circles Squared, Volume II. Publicado por: American Mathematical Society

La definición de infierno de Paul Erdös

En el libro “Absolute Zero Gravity”, Betsy Devine y Joel E. Cohen recogen una curiosa definición de infierno que Paul Erdös le cuenta a Gus Simmons mientras pasean por unos acantilados en Nuevo México:
“Para un matemático, el infierno es caer por un acantilado como este y a medio camino darse cuenta finalmente de como demostrar la Hipótesis de Riemann”

Devine, Betsy, Cohen Joel E. 1992. Absolute Zero Gravity Science jokes, quotes and anecdotes. Publicado por Simon & Schuster.

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Mañana, lunes 24 de septiembre de 2018, Michael Atiyah, renombrado matemático británico acreedor de múltiples distinciones entre las que está la Medalla Fields y el Premio Abel presenta una ponencia en el Heidelberg Laureate Forum 2018 en cuyo resumen se puede leer que incluye una prueba de la Hipótesis de Riemann

La mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en afirmar que La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) la incluyó en un trabajo de 8 páginas publicado en 1859 titulado, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada. Este trabajo fue de gran influencia sobre muchos grandes matemáticos de las generaciones que le siguieron.

A día de hoy, más de 150 años después, la hipótesis sigue sin demostración. El Instituto Clay ha establecido un premio de un millón de dolares para la primera persona que consiga demostrarla.

¿Qué dice la hipótesis de Riemann?

A diferencia de otros enunciados de teoremas famosos como el último teorema de Fermat o el teorema de los cuatro colores, la hipótesis de Riemman tiene un enunciado que resulta críptico para los no matemáticos:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a 1/2

¿Por qué es importante?

Además de tener una íntima relación con la forma en la que los números primos están distribuidos entre los enteros, la Hipótesis de Riemann está íntimamente relacionada con la naturaleza misma de la realidad física a través de la mecánica cuántica.

En lo que sigue intentaré dar un repaso a la historia de los esfuerzos realizados para comprender la naturaleza de los números primos para tratar de entender la génesis de la hipótesis de Riemann y su significado.

Números Primos

¿Qué es un número primo?

Los primos son los números enteros mayores que 1 que no tienen divisores positivos distintos de si mismos y la unidad. Los diez primeros primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Se llaman números compuestos a los enteros mayores que 1 que no son primos. Así 6 es un número compuesto ya que es divisible por 2 y por 3.

¿Por que son importantes los números primos?

Haciendo una analogía química se puede decir que los números primos son los elementos a partir de los que se construyen el resto de los números enteros. Los números enteros mayores que 1 o son primos o se pueden descomponer, de una única forma, salvo el orden, en números primos. Por ejemplo, 180, que es un número compuesto, se puede expresar como producto de números primos solo así, 2·2·3·3·5. Este hecho, llamado el teorema fundamental de la aritmética, era conocido probablemente en tiempos de Euclides ya que en los Elementos se mencionan algunas proposiciones muy relacionadas con él; sin embargo, la primera demostración completa tardó más de veinte siglos, apareció en las Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss publicó en 1801.

¿Cuántos números primos hay?

En los Elementos de Euclides aparece la primera demostración de que los números primos son infinitos. Euclides emplea un método conocido como reducción al absurdo:

Supongamos que los números primos no son infinitos. Por tanto existe uno que es el último, pu.

Multipliquemos todos ellos y al resultado sumémosle 1,

2 · 3 · 5 · . . .  · pu+ 1

Este número no es divisible entre ninguno de los primos ya que, la división siempre da de resto 1. De lo anterior se puede deducir que o es primo o hay un primo mayor que pu que lo divide. Esta conclusión entra en contradicción con la suposición inicial de que pu es el último primo. La conclusión lógica de lo anterior es que los números primos son infinitos.

La criba de Eratóstenes

Se debe a Eratóstenes (276aC, 194 aC) un método para obtener los primos que hay hasta un número dado. Una operación de este tipo se llama criba ya que la idea es cribar los números enteros para quedarnos con los primos. El procedimiento es como sigue:

  1. Escribir en una tabla todos los enteros entre 2 y el número dado.
  2. Elegir el primer número no marcado ni tachado. (El primero es el 2). Este número es primo ya que, como no está tachado, no es divisible por ninguno de los primos anteriores.
  3. Tachar todos los múltiplos del número elegido en el paso anterior que no estén ya tachados. (Inicialmente, al elegir el 2, se tachan 4, 6, 8,…. La siguiente vez serán 9, 15, 21, …)
  4. Repetir desde el paso 2
Criba de Eratóstenes.
Autor: Sebastian Koppehel. Licencia: CC BY-SA 3.0

¿Cómo están distribuidos los primos?

¿Como aparecen los números primos distribuidos entre los enteros? ¿Hay algún orden? Veamos algunos hechos relacionados con su distribución:

Postulado de Bertrand

En su forma más elegante aunque más débil establece que siempre hay al menos un primo, p, entre un número cualquiera, n, y su doble, 2n:

n < p < 2n

Debe su nombre a Joseph Bertrand que lo comprobó para números hasta 3 millones.  Chebyshev lo demostró en 1850.

El postulado de Bertrand implica que el primo n-esimo (el que hace el numero n de la lista) siempre aparece antes de 2n

Números compuestos consecutivos sin límite

Aunque de entrada puede resultar paradójico, es fácil demostrar que es posible encontrar una lista de números enteros consecutivos tan grande como se quiera que no contenga ningún primo.

Los siguientes n números consecutivos son todos compuestos:

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ···, (n + 1)! + n+1

ya que,

(n + 1)!, que se lee factorial de n + 1 y es una forma abreviada de escribir (n + 1)·n·(n – 1)·(n – 2) ··· 3 · 2 · 1, es divisible por todos los enteros 1, 2, 3, ··· n + 1. Por tanto en la lista anterior, de n números consecutivos, todos ellos son compuestos ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, el tercero por 4 y así sucesivamente hasta el último, que es divisible por n+1.

La serie armónica

Ver entrada anterior

Producto de Euler

Euler definió la función zeta mediante la serie siguiente

\zeta (x)=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+\cdots \

x es un número real que solo puede tomar valores mayores que la unidad ya que para valores menores, la función no está definida pues la serie no tiene una suma finita. (El significado de serie, limite de una serie, suma de una serie y otros relacionados pueden verse en la entrada anterior: La serie armónica, que por otra parte es la serie que se obtiene cuando x en la función zeta toma el valor de 1).

leonhard euler
Leonhard Euler (1707-1783)

En Variae observationes circa series infinitas, trabajo publicado en 1737, Euler demostró la siguiente identidad, denominada producto de Euler,

\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}} \

Si se desarrolla la parte derecha se obtiene la siguiente expresión:

\left (1-\frac{1}{2^s} \right ) \left (1-\frac{1}{3^s} \right ) \left (1-\frac{1}{5^s} \right ) \left (1-\frac{1}{7^s} \right )\cdots \

En este producto aparecen uno a uno todos los números primos.

Cuando s toma el valor 2 el producto tiene como límite el valor π²/6  y su inverso 6/π² representa la probabilidad de que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si. (Ver la entrada: ¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?)

El producto de Euler muestra la relación que existe entre la función zeta y los números primos. Su demostración es de una gran belleza por su simplicidad, siendo necesario únicamente para poder seguirla disponer de unos conocimientos básicos de álgebra.

A partir del producto de Euler es posible demostrar también la infinitud de los primos. Si substituimos s por 1, el termino de la izquierda representa la serie armónica, que como sabemos es divergente (Su suma no tiene límite). Esto implica que el termino de la derecha también tiene que crecer sin límite o lo que es equivalente: no hay un último primo.

El teorema de los números primos

A principios del siglo XIX Legendre, Gauss y Dirichlet entre otros estudiaron la frecuencia de aparición de los primos. Más concretamente, el número de primos menores o iguales que N, que habitualmente se representa por la función π(N). Observaron que a medida que N se hace grande el número de primos menores o iguales que N se aproxima a N/ln(N). (ln representa el logaritmo natural o neperiano) La afirmación anterior es equivalente a decir que el cociente entre ambas cantidades se aproxima a 1. En términos más matemáticos:

\lim_{N\to \infty}{\frac {\;\pi (N)\;}{\frac {N}{\ln(N)}}}=1 \

Este resultado se conoce como el teorema de los números primos

En la tabla siguiente se muestran algunos valores de π(N), N/ln(N) y su cociente que tiende a 1.

Nπ(N)N/ln(N)π(N)/(N/ln(N))
10440,92
10025221,15
10001681451,16
10000122910861,13
100000959286861,10
100000078498723821,08
100000006645796204211,07
100000000576145554286811,06
100000000050847534482549421,05
100000000004550525114342944821,05

Dos importantes consecuencias del teorema de los números primos son las siguientes:

  • La probabilidad de que N sea primo es aproximadamente igual a \frac {1}{ln(N)} \
  • El número primo que ocupa la posición N de la lista es aproximadamente Nln(N)

Aproximadamente en las afirmaciones anteriores significa que cuanto mayor sea N menor error tendrá la aproximación.

La hipótesis de Riemann

Fragmento de la primera página del trabajo de Riemann de 1859.
Toma como punto de partida el Producto de Euler que relaciona los primos con los enteros.

Como hemos visto un poco más arriba, el producto de Euler muestra la relación existente entre la función zeta y los números primos. Riemann lo utiliza como punto de partida en su trabajo de 1859 en el que aparece su hipótesis.

Riemann da un paso más que Euler. Basándose en  ciertos patrones que presenta la función zeta de Euler y utilizando una técnica matemática del análisis complejo denominada continuación analítica, extendió la definición de la función zeta de forma que se pudiese aplicar a los números complejos. Se dio cuenta de que podría demostrar el teorema de los número primos si era capaz de entender los ceros que presentaba la función zeta. O lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación

\zeta (z)=0 \

La función zeta de Riemann, la extensión de la función zeta de Euler, tiene como ceros todos los números enteros pares negativos : -2, -4, -6, …

Además de estos ceros, denominados ceros triviales, tiene multitud de ceros que son números complejos. Un número complejo se expresa de la forma a + bi. Tiene una parte real, a,  y una parte imaginaria, b, siendo i el número que al elevarlo al cuadrado es igual  -1, o lo que es lo mismo

i = \sqrt{-1} \

En el trabajo de 1859 mencionado al principio, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada,  y haciendo uso de un profundo conocimiento de la función zeta, establece su hipótesis:

La parte real de todas los ceros no triviales de la función zeta es 1/2

Si fuese cierto, también lo sería el teorema de los números primos.

Hadamard y de la Vallée Poussin demostraron en 1896, de forma independiente el teorema de los números primos,  pero aunque usaron la función zeta de Riemann no demostraron su hipótesis.

Hoy se sabe que  la parte real de los ceros complejos de la función zeta se encuentra entre 0 y 1. Hardy, que le dedico muchos esfuerzos, consiguió demostrar en 1911 que hay infinitos ceros en los que la parte real es 1/2. (Ver la anécdota sobre Hardy y la hipótesis de Riemann). En la actualidad se conocen más de 1013 ceros no triviales de la función zeta y todos ellos tiene como parte real 1/2.

Para saber más

  • Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.
  • Davis, Philip J. y Harsh, Reuben. 1984. The Riemann Hypothesis en Mathematics: People, Problems, Results, Volumen 2. Editado por Douglas M. Campbell y John C. Higgins.  Wadsworth International.
  • Derbyshire, John. 2003. Prime Obsession . Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Joseph Henry Press
  • Devlin, Keith. 1994. Mathematics. The Science of Patterns. Scientific American Library
  • Wells, David. 2005. Prime Numbers. John Wiley & Sons, Inc.

¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?

De Morgan en A Budget of Paradoxes cuenta la siguiente anécdota:

Augustus De Morgan
Augustus De Morgan

Tuve un amigo interesado en todo lo relacionado con la mortalidad, seguros de vida, etc. Un día, explicándole cómo debería determinarse la probabilidad de que el número de supervivientes de un grupo de personas, al cabo de un cierto tiempo se encuentre entre ciertos limites, llegué, por supuesto, a la introducción de pi, que solo pude describir como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. -¡Oh, mi querido amigo! Eso debe ser un error, ¿qué tiene que ver un círculo con el número de vivos?

Definición habitual del número pi
Definición habitual del número pi

La extrañeza mostrada por el amigo de De Morgan la mostraría mucha gente ya que habitualmente se asocia el número π exclusivamente con la  relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El número π  podría definirse de otras muchas maneras ya que aparece en matemáticas en situaciones sorprendentemente diversas. A continuación se muestran algunas de ellas:

Continuar leyendo “¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?”

Historias de matemáticos

El seguro de Hardy para viajar

Godfrey Harold Hardy
Godfrey Harold Hardy

En 1969 George Polya dio una conferencia en la Universidad de Santa Clara, California, con el título: “Algunos matemáticos que he conocido”. Una de las anécdotas que menciona hace referencia a G. H. Hardy, el matemático inglés recordado por sus logros en análisis y teoría de los números así como por ser el mentor del matemático indio Srinavasa Ramanujan. Nos cuenta Polya que:

Hardy solía hacer una visita en el verano a su amigo el matemático danes Harald Bohr. Previamente establecían unos temas de los que iban a hablar y Hardy siempre insistía en que el primer punto fuese : “Probar la hipótesis de Riemann”.
Al acabar la vacaciones Hardy tenía que volver a Inglaterra para retomar sus actividades académicas. El viaje lo hacía en un pequeño barco que cubría el trayecto. Una de las veces, en que había temporal Hardy decidió hacer la travesía de todas formas aunque previamente envió una postal a su amigo Bohr en la que decía: “He probado la hipótesis de Riemann. G.H.Hardy”. Una vez en Inglaterra sano y salvo explicó que lo había hecho porque Dios le tenía manía y por tanto el barco no se iba a hundir ya que Dios no iba a consentir que todo el mundo creyese que  había demostrado la hipótesis de Riemann”

En la misma conferencia, Polya cuenta que alguien hizo la siguiente pregunta a Hilbert, “Si usted resucitase al cabo de 500 años, ¿qué haría?” “Preguntaría, ” contestó Hilbert, “¿Ha demostrado alguien la hipótesis de Riemann?

La conferencia de Polya se puede leer en: Some mathematicians I have known, Amer. Math. Monthly 76, 746-53;

Las tareas para casa de Dantzig

En una entrevista publicada en 1986 George B. Dantzig, el padre de la programación lineal, cuenta la siguiente historia que tuvo lugar mientras estudiaba en la universidad de Berkeley.
Un día llegó tarde a la clase de Jerzy Neyman y copió los dos problemas que había en el encerado suponiendo que eran las tareas que el profesor había puesto.  Al cabo de unos días se disculpó con Neyman por tardar tanto en hacer los problemas, que le parecieron un poco más difíciles de lo habitual, y le preguntó si todavía se los podía dar, a lo que Neyman le contestó que se los dejase sobre la mesa. Se los dejó de mala gana porque la mesa estaba cubierta con tal cantidad de papeles que pensó que sus tareas se iban a extraviar. Al cabo de seis semanas, un domingo a las ocho de la mañana se despertó por los golpes que alguien daba en la puerta de su casa. Era Neyman. Entro corriendo con los trabajos en su mano, y dijo todo excitado: “Acabo de escribir una introducción a uno de tus trabajos. Léela para que pueda enviarlo a publicar”.  Al principio no tenía ni idea de lo que el profesor le estaba contando. Luego se aclaró la historia: los problemas que había en el encerado y Dantzig había resuelto pensando que eran la tarea para casa, eran en realidad dos famosos problemas estadísticos todavía no resueltos.

La historia la cuenta el propio Dantzig en : An Interview with George B. Dantzig: The Father of Linear Programming.  Donald J. Albers, Constance Reid and George B. Dantzig. The College Mathematics Journal Vol. 17, No. 4 (Sep., 1986), pp. 292-314