La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Mañana, lunes 24 de septiembre de 2018, Michael Atiyah, renombrado matemático británico acreedor de múltiples distinciones entre las que está la Medalla Fields y el Premio Abel presenta una ponencia en el Heidelberg Laureate Forum 2018 en cuyo resumen se puede leer que incluye una prueba de la Hipótesis de Riemann

La mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en afirmar que La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) la incluyó en un trabajo de 8 páginas publicado en 1859 titulado, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada. Este trabajo fue de gran influencia sobre muchos grandes matemáticos de las generaciones que le siguieron.

A día de hoy, más de 150 años después, la hipótesis sigue sin demostración. El Instituto Clay ha establecido un premio de un millón de dolares para la primera persona que consiga demostrarla.

¿Qué dice la hipótesis de Riemann?

A diferencia de otros enunciados de teoremas famosos como el último teorema de Fermat o el teorema de los cuatro colores, la hipótesis de Riemman tiene un enunciado que resulta críptico para los no matemáticos:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a 1/2

¿Por qué es importante?

Además de tener una íntima relación con la forma en la que los números primos están distribuidos entre los enteros, la Hipótesis de Riemann está íntimamente relacionada con la naturaleza misma de la realidad física a través de la mecánica cuántica.

En lo que sigue intentaré dar un repaso a la historia de los esfuerzos realizados para comprender la naturaleza de los números primos para tratar de entender la génesis de la hipótesis de Riemann y su significado.

Números Primos

¿Qué es un número primo?

Los primos son los números enteros mayores que 1 que no tienen divisores positivos distintos de si mismos y la unidad. Los diez primeros primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Se llaman números compuestos a los enteros mayores que 1 que no son primos. Así 6 es un número compuesto ya que es divisible por 2 y por 3.

¿Por que son importantes los números primos?

Haciendo una analogía química se puede decir que los números primos son los elementos a partir de los que se construyen el resto de los números enteros. Los números enteros mayores que 1 o son primos o se pueden descomponer, de una única forma, salvo el orden, en números primos. Por ejemplo, 180, que es un número compuesto, se puede expresar como producto de números primos solo así, 2·2·3·3·5. Este hecho, llamado el teorema fundamental de la aritmética, era conocido probablemente en tiempos de Euclides ya que en los Elementos se mencionan algunas proposiciones muy relacionadas con él; sin embargo, la primera demostración completa tardó más de veinte siglos, apareció en las Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss publicó en 1801.

¿Cuántos números primos hay?

En los Elementos de Euclides aparece la primera demostración de que los números primos son infinitos. Euclides emplea un método conocido como reducción al absurdo:

Supongamos que los números primos no son infinitos. Por tanto existe uno que es el último, pu.

Multipliquemos todos ellos y al resultado sumémosle 1,

2 · 3 · 5 · . . .  · pu+ 1

Este número no es divisible entre ninguno de los primos ya que, la división siempre da de resto 1. De lo anterior se puede deducir que o es primo o hay un primo mayor que pu que lo divide. Esta conclusión entra en contradicción con la suposición inicial de que pu es el último primo. La conclusión lógica de lo anterior es que los números primos son infinitos.

La criba de Eratóstenes

Se debe a Eratóstenes (276aC, 194 aC) un método para obtener los primos que hay hasta un número dado. Una operación de este tipo se llama criba ya que la idea es cribar los números enteros para quedarnos con los primos. El procedimiento es como sigue:

  1. Escribir en una tabla todos los enteros entre 2 y el número dado.
  2. Elegir el primer número no marcado ni tachado. (El primero es el 2). Este número es primo ya que, como no está tachado, no es divisible por ninguno de los primos anteriores.
  3. Tachar todos los múltiplos del número elegido en el paso anterior que no estén ya tachados. (Inicialmente, al elegir el 2, se tachan 4, 6, 8,…. La siguiente vez serán 9, 15, 21, …)
  4. Repetir desde el paso 2
Criba de Eratóstenes.
Autor: Sebastian Koppehel. Licencia: CC BY-SA 3.0

¿Cómo están distribuidos los primos?

¿Como aparecen los números primos distribuidos entre los enteros? ¿Hay algún orden? Veamos algunos hechos relacionados con su distribución:

Postulado de Bertrand

En su forma más elegante aunque más débil establece que siempre hay al menos un primo, p, entre un número cualquiera, n, y su doble, 2n:

n < p < 2n

Debe su nombre a Joseph Bertrand que lo comprobó para números hasta 3 millones.  Chebyshev lo demostró en 1850.

El postulado de Bertrand implica que el primo n-esimo (el que hace el numero n de la lista) siempre aparece antes de 2n

Números compuestos consecutivos sin límite

Aunque de entrada puede resultar paradójico, es fácil demostrar que es posible encontrar una lista de números enteros consecutivos tan grande como se quiera que no contenga ningún primo.

Los siguientes n números consecutivos son todos compuestos:

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ···, (n + 1)! + n+1

ya que,

(n + 1)!, que se lee factorial de n + 1 y es una forma abreviada de escribir (n + 1)·n·(n – 1)·(n – 2) ··· 3 · 2 · 1, es divisible por todos los enteros 1, 2, 3, ··· n + 1. Por tanto en la lista anterior, de n números consecutivos, todos ellos son compuestos ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, el tercero por 4 y así sucesivamente hasta el último, que es divisible por n+1.

La serie armónica

Ver entrada anterior

Producto de Euler

Euler definió la función zeta mediante la serie siguiente

\zeta (x)=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+\cdots \

x es un número real que solo puede tomar valores mayores que la unidad ya que para valores menores, la función no está definida pues la serie no tiene una suma finita. (El significado de serie, limite de una serie, suma de una serie y otros relacionados pueden verse en la entrada anterior: La serie armónica, que por otra parte es la serie que se obtiene cuando x en la función zeta toma el valor de 1).

leonhard euler
Leonhard Euler (1707-1783)

En Variae observationes circa series infinitas, trabajo publicado en 1737, Euler demostró la siguiente identidad, denominada producto de Euler,

\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}} \

Si se desarrolla la parte derecha se obtiene la siguiente expresión:

\left (1-\frac{1}{2^s} \right ) \left (1-\frac{1}{3^s} \right ) \left (1-\frac{1}{5^s} \right ) \left (1-\frac{1}{7^s} \right )\cdots \

En este producto aparecen uno a uno todos los números primos.

Cuando s toma el valor 2 el producto tiene como límite el valor π²/6  y su inverso 6/π² representa la probabilidad de que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si. (Ver la entrada: ¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?)

El producto de Euler muestra la relación que existe entre la función zeta y los números primos. Su demostración es de una gran belleza por su simplicidad, siendo necesario únicamente para poder seguirla disponer de unos conocimientos básicos de álgebra.

A partir del producto de Euler es posible demostrar también la infinitud de los primos. Si substituimos s por 1, el termino de la izquierda representa la serie armónica, que como sabemos es divergente (Su suma no tiene límite). Esto implica que el termino de la derecha también tiene que crecer sin límite o lo que es equivalente: no hay un último primo.

El teorema de los números primos

A principios del siglo XIX Legendre, Gauss y Dirichlet entre otros estudiaron la frecuencia de aparición de los primos. Más concretamente, el número de primos menores o iguales que N, que habitualmente se representa por la función π(N). Observaron que a medida que N se hace grande el número de primos menores o iguales que N se aproxima a N/ln(N). (ln representa el logaritmo natural o neperiano) La afirmación anterior es equivalente a decir que el cociente entre ambas cantidades se aproxima a 1. En términos más matemáticos:

\lim_{N\to \infty}{\frac {\;\pi (N)\;}{\frac {N}{\ln(N)}}}=1 \

Este resultado se conoce como el teorema de los números primos

En la tabla siguiente se muestran algunos valores de π(N), N/ln(N) y su cociente que tiende a 1.

Nπ(N)N/ln(N)π(N)/(N/ln(N))
10440,92
10025221,15
10001681451,16
10000122910861,13
100000959286861,10
100000078498723821,08
100000006645796204211,07
100000000576145554286811,06
100000000050847534482549421,05
100000000004550525114342944821,05

Dos importantes consecuencias del teorema de los números primos son las siguientes:

  • La probabilidad de que N sea primo es aproximadamente igual a \frac {1}{ln(N)} \
  • El número primo que ocupa la posición N de la lista es aproximadamente Nln(N)

Aproximadamente en las afirmaciones anteriores significa que cuanto mayor sea N menor error tendrá la aproximación.

La hipótesis de Riemann

Fragmento de la primera página del trabajo de Riemann de 1859.
Toma como punto de partida el Producto de Euler que relaciona los primos con los enteros.

Como hemos visto un poco más arriba, el producto de Euler muestra la relación existente entre la función zeta y los números primos. Riemann lo utiliza como punto de partida en su trabajo de 1859 en el que aparece su hipótesis.

Riemann da un paso más que Euler. Basándose en  ciertos patrones que presenta la función zeta de Euler y utilizando una técnica matemática del análisis complejo denominada continuación analítica, extendió la definición de la función zeta de forma que se pudiese aplicar a los números complejos. Se dio cuenta de que podría demostrar el teorema de los número primos si era capaz de entender los ceros que presentaba la función zeta. O lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación

\zeta (z)=0 \

La función zeta de Riemann, la extensión de la función zeta de Euler, tiene como ceros todos los números enteros pares negativos : -2, -4, -6, …

Además de estos ceros, denominados ceros triviales, tiene multitud de ceros que son números complejos. Un número complejo se expresa de la forma a + bi. Tiene una parte real, a,  y una parte imaginaria, b, siendo i el número que al elevarlo al cuadrado es igual  -1, o lo que es lo mismo

i = \sqrt{-1} \

En el trabajo de 1859 mencionado al principio, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada,  y haciendo uso de un profundo conocimiento de la función zeta, establece su hipótesis:

La parte real de todas los ceros no triviales de la función zeta es 1/2

Si fuese cierto, también lo sería el teorema de los números primos.

Hadamard y de la Vallée Poussin demostraron en 1896, de forma independiente el teorema de los números primos,  pero aunque usaron la función zeta de Riemann no demostraron su hipótesis.

Hoy se sabe que  la parte real de los ceros complejos de la función zeta se encuentra entre 0 y 1. Hardy, que le dedico muchos esfuerzos, consiguió demostrar en 1911 que hay infinitos ceros en los que la parte real es 1/2. (Ver la anécdota sobre Hardy y la hipótesis de Riemann). En la actualidad se conocen más de 1013 ceros no triviales de la función zeta y todos ellos tiene como parte real 1/2.

Para saber más

  • Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.
  • Davis, Philip J. y Harsh, Reuben. 1984. The Riemann Hypothesis en Mathematics: People, Problems, Results, Volumen 2. Editado por Douglas M. Campbell y John C. Higgins.  Wadsworth International.
  • Derbyshire, John. 2003. Prime Obsession . Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Joseph Henry Press
  • Devlin, Keith. 1994. Mathematics. The Science of Patterns. Scientific American Library
  • Wells, David. 2005. Prime Numbers. John Wiley & Sons, Inc.

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