La serie armónica

¿Qué es una serie?

En matemáticas serie infinita o simplemente serie, es la suma de una sucesión infinita de términos, (a1, a2, a3, …),

{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{2} + \cdots \.

Se puede representar de forma alternativa usando el símbolo sumatorio

\sum\limits_{i=1}^{\infty}{{a}_{i}} \.

Aunque los términos pueden ser varios tipos de entidades matemáticas vamos a centrarnos en series cuyos términos sean números reales.

Suma de una serie

Está claro que el significado del término suma no puede ser el mismo que el que usamos por ejemplo al realizar la suma 2 + 2, ya que en una serie al ser el número de sumandos infinito nunca acabaríamos de sumar, al menos en un tiempo finito.  Esta idea de sumar los términos de una serie resultó problemática para matemáticos y filósofos durante muchos siglos como  puso de manifiesto Zenón de Elea con su famosa paradoja de Aquiles y la tortuga.
En el siglo XIX los matemáticos resolvieron el problema introduciendo el concepto de límite.

Para acercarnos a la idea de límite consideremos la serie

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \.

Calculemos las sumas parciales de sus términos,
Si sumamos los 2 primeros,

1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \.

Sumando los 3 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{7}{4} \.

Sumando los 4 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = \frac{15}{8} \.

Se puede deducir fácilmente que la suma de los n primeros términos es

\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}} \

que  podemos escribir

2\left({1-\frac{1}{{2}^{n}}}\right) \.

A medida que n se hace más grande, el segundo término de la resta, \frac{1}{{2}^{n}} \, se hace  más pequeño y consecuentemente, la suma se acerca a 2.
El que la diferencia entre la suma de los n primeros términos de la serie y 2 la podamos hacer tan pequeña como queramos sin mas que aumentar el valor de n, es la idea fundamental que está detrás de la definición de 2 como límite, o suma, de la serie.

Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2
Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2

Cuando esto sucede y existe un límite se dice que la serie es convergente. Si no existe un límite como por ejemplo en la serie

1+2+3+\cdots \

la serie se denomina divergente.

La serie armónica

la serie,

\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \

recibe el nombre de serie armónica y es el resultado de sumar los inversos de los números enteros. Su nombre deriva del concepto de sobretonos o armónicos en música. La frecuencia del tono fundamental y la de los sucesivos sobretonos de una cuerda que vibra guardan una relación de 1/2, 1/3, 1/4, etc 

En torno a 1350 Nicole Oresme demostró que la serie armónica es divergente, esto es, su suma crece sin parar, no tiene límite.

Esta divergencia de la serie armónica pese a que 1/n tiende a cero a medida que n aumenta da lugar a resultados curiosos como los siguientes:

El gusano y el hilo

Josep Maria Albaigès en su divertido libro ¿Se atreve Vd. con ellos? propone 101 divertidos problemas entre los que se encuentra el que transcribo a continuación

“Imaginemos un hilo extendido rectilíneamente, de 1 km de longitud, y, en un extremo, un caracol puntual que empieza a recorrerlo a la velocidad constante de 1 mm por segundo. El hilo tiene una curiosa propiedad: al cabo de un segundo de haber empezado su recorrido el caracol, se estira instantáneamente 1 km (es decir, que al terminar el primer segundo se alarga elásticamente, de forma instantánea, hasta medir 2 km). Al terminar el 2º segundo pasa a 3 km, y así sucesivamente: a los n segundos medirá n + 1 km.

Y he aquí la pregunta, que puede sorprender: ¿llegará el caracol al final del hilo? Y, para las personas con conocimientos sólidos de análisis matemático: ¿cuánto tiempo, si es que llega al final, invertirá en ello?”

Dejo al lector que trate de deducir la respuesta a la primera pregunta. Aunque a estas alturas por lo anteriormente dicho ya la habrá adivinado.

Encontrar la respuesta a la segunda pregunta requiere como Albaigès  comenta haber realizado estudios de análisis.

Otro interesante problema en el que aparece la serie armónica es el siguiente:

La pila de libros

Si tenemos un libro, de longitud L, sobresaliendo en el borde de una mesa, en el caso límite es posible que el extremo más alejado del mismo sobresalga L/2 de la mesa.
¿Si disponemos de dos libros idénticos se puede conseguir que el punto mas alejado de la mesa esté a una distancia mayor que L/2?

La respuesta se puede deducir fácilmente si se tiene en cuenta que la condición de equilibrio es que la vertical que pasa por el centro de gravedad del conjunto pase justamente por el borde de la mesa. En el segundo caso se consigue una distancia de 0,75L

¿Cuál es la máxima distancia que se puede conseguir entre el borde de un libro y la mesa, si se dispone de libros suficientes?

Bloques Apilados.
Autor: cmglee, Anonimski.
CC BY-SA 4.0

Como uno se puede imaginar después de lo ya dicho, en la solución del problema aparece la serie armónica y su divergencia por lo que no hay límite para esa distancia. Con un número suficiente de libros, y eso si, una mesa muy resistente, podemos alejarnos la distancia que queramos.

Un análisis del problema se puede ver en Mathworld

Para saber más

La serie armónica en la Wikipedia

Albaigès, J.M., 1981. ¿Se atreve Vd con ellos? 101 Apasionantes Problemas. Barcelona: Marcombo Boixareu Editores

Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.

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