Magia Telepática

Con la aplicación Magia telepática y una baraja francesa es posible realizar un sorprendente truco de magia. El truco originalmente fue popularizado por Persi Diaconis y Ron Graham en su libro Magical Mathematics. La versión que aquí se presenta facilita su ejecución ya que no exige memorizar nada. Es la aplicación la que se encarga del trabajo duro.

¿Cómo se hace el truco?

El mago saca una baraja de su caja y se la pasa a varios espectadores para que la corten. Después del último corte reparte las 5 cartas superiores entre el público.

El mago saca entonces un teléfono y dice disponer de una aplicación experimental que tiene capacidades telepáticas. La aplicación está todavía en fase de desarrollo, dice el mago, y todavía no puede distinguir bien los colores de las cartas. Debido a esta circunstancia pide a cada uno de los espectadores que han recibido una carta que diga si es negra o roja. Mientras lo van haciendo el mago dirige su móvil hacía ellos dando la sensación de que los está escaneando.

Cuando los 5 espectadores han acabado de decir el color de su carta, el mago muestra la pantalla de su teléfono. En ella  aparecen las 5 cartas que tienen los espectadores.

Explicación

Preparación

De una baraja francesa se seleccionan las 32 cartas siguientes y se disponen en el orden en que se muestran,

8♣ A♣ 2♣ 4♣ A♠ 2♦ 5♣ 3♠
6♦ 4♠ A♥ 3♦ 7♣ 7♠ 7♥ 6♥
4♥ 8♥ A♦ 3♣ 6♣ 5♠ 3♥ 7♦
6♠ 5♥ 2♥ 5♦ 2♠ 4♦ 8♠ 8♦

Desarrollo

App magia telepática
App magia telepática

Se procede como se describe más arriba en el apartado ¿Cómo se hace el truco?. Cuando el mago reparte las cartas les asigna mentalmente un número del 1 al 5. Para luego poder recordar fácilmente este número, el reparto se ha de realizar siguiendo un cierto orden, por ejemplo desde la izquierda hacia la derecha de la sala. Cuando cada espectador va diciendo el color de su carta, y el mago aparenta escanear la mente del espectador, lo que hace realmente es pulsa el botón correspondiente al número de la carta si el espectador dice que la suya es roja.

App magia telepática
App magia telepática

Al acabar con la 5ª carta, el mago pulsa el botón LISTO y es en ese momento, al aparecer solo las 5 cartas, como se ve en la captura de la derecha, cuando enseña la pantalla del móvil al público.

Puedes descargar la aplicación desde el enlace que sigue,

Disponible en Google Play
Magia telepática esta disponible en Google Play

 

 

¿Por qué funciona?

Sucesiones de de Bruijn

Una sucesión de de Bruijn de orden n que usa un alfabeto de k símbolos, abreviadamente B(k,n) es una sucesión cíclica en la que todas las subsucesiones posibles de longitud n ocurren una y sola una vez. El nombre hace referencia al matemático holandes Nicolaas Govert de Bruijn (1918-2012).

Hay {\frac {\left(k!\right)^{k^{n-1}}}{k^{n}}} \ sucesiones de de Bruijn B(k,n) diferentes.

Por ejemplo, una sucesión de de Bruijn de orden 2 que usa un alfabeto de 2 símbolos, R y N, sería RNNR. Qué la sucesión sea cíclica quiere decir que a la última R le sigue la primera R como se ve en la siguiente figura. Empezando por la N a la izquierda y siguiendo el sentido de las agujas del reloj nos vamos encontrando las cuatro posibles subsucesiones de 2 símbolos que son NR,RR,RN y NN.

 

sucesión de deBruijn b(2,5)
Sucesión de de Bruijn B(2,2)

Sucesión de de Bruijn B(2,5)

Una sucesión de de Bruijn B(2,5) tiene una longitud de 25 =32. Este número es también el de las subsucesiones diferentes de 5 elementos que contiene. Hay 2048 sucesiones B(2,5) posibles. Usando el mismo alfabeto anterior {R,N} una de ellas es la siguiente,

NNNNNRNNRNRRNNRRRRRNNNRRNRRRNRNR

Sucesión de bruijn b(2,5)
Sucesión de de Bruijn B(2,5)

En la sucesión anterior aparecen una sola vez todas las subsucesiones posibles de 5 elementos como por ejemplo, NNRRR o RNNNR.

Si se toman 32 cartas de una baraja francesa, 16 rojas y 16 negras, y se ordenan de tal forma que los colores de sus cartas reproduzcan la sucesión anterior, como la sucesión es cíclica, es posible cortar todas las veces que se quiera sin que la sucesión se altere.

Con una baraja así preparada, si somos capaces de memorizarla, se pueden identificar 5 cartas consecutivas cualesquiera solo con conocer el orden de sus colores, ya que como se ha visto es único.

Persi Diaconis y Ron Graham en su libro Magical Mathematics presentan la sucesión B(2,5) anterior usando las 32 cartas y el orden que se muestra en la tabla que se puede ver más arriba.

Con esta disposición de cartas concreta (no solo de colores), Diaconis y Graham explican cómo es posible, sin tener que memorizar toda la sucesión, deducir las cinco cartas.

Con esta aplicación el truco se simplifica ya que el mago no necesita memorizar nada. Se utiliza la misma disposición de cartas que utilizan Diaconis y Graham en su libro por si alguien se anima utilizar su método. En la app, dado que es ella la que memoriza la disposición de las cartas, se podría haber utilizado cualquier otras con la única condición de que siguiese la sucesión de colores indicada por una de las 2048 sucesiones B(2,5)

Para saber más

  • Diaconis P., R. Graham.2012. Magical Mathematics. Princeton University Presss.
  • DivulgaMat: Sucesiones De Bruijn

 

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El número e

El número e es quizá el número más importante en matemáticas. ¿Qué es e? ¿Cómo se define? ¿Qué propiedades tiene? Además de tratar de contestasr a estas preguntas, en esta entrada se repasan varias de sus apariciones, alguna de ellas en sitios insospechados.

El número e probablemente sea el número más importante en las matemáticas. Aproximado a 5 decimales su valor es 2.71828. No solo es irracional (no se puede expresar como una fracción) sino que, al igual que π, es trascendente (no puede ser raíz de una ecuación polinómica con coeficientes enteros). Es conocido también como número número de Euler ya que Leonhard Euler(1797-1783) fue el primero en estudiarlo y representarlo por la letra e. Aparece en muchos y diferentes lugares pero quizás el más famoso de todos ellos sea la formula de Euler, que relaciona las constantes  e y π con los números 0 y 1 así como con la unidad imaginaria i, e^{i\pi} +1=0 \ Como se verá más abajo, una de sus apariciones estelares tiene lugar en la función exponencial, y = \textbf{e}^{x} \ que posee, en exclusiva, la propiedad de que su velocidad de cambio (dy/dx) en cualquier punto tiene el mismo valor que la propia función en ese punto (ex). Antes de definirlo veamos algunos lugares sorprendentes en los que emerge.

El problema del secretario

Un empresario va a realizar n entrevistas para contratar a un secretario. Los candidatos serán entrevistados en un orden aleatorio. Al terminar cada entrevista, el empresario debe decidir si contrata a la persona entrevistada o no. Tiene un criterio de selección que permite ordenar, sin empates, a todos candidatos ya entrevistados. Una vez que pase el siguiente candidato ya no podrá contratar a ninguno de los anteriores. ¿Cuál es la estrategia  que debe seguir para maximizar las probabilidades de contratar al mejor candidato? La estrategia optima es la siguiente: descartar los primeros ∼n/e candidatos entrevistados y a continuación seleccionar el primer candidato que sea mejor que los primeros ya entrevistados. Procediendo de esta manera la probabilidad de seleccionar al mejor candidato es aproximadamente 1/e, lo que implica que si se sigue esta estrategia se seleccionará al mejor candidato en torno al 37 % de las ocasiones. Una versión denominada The Game of Googol apareció en la columna Mathematical Games de febrero de 1960 que Martin Gardner mantenía en la revista Scientific Américan. El juego del Googol sería algo así: Tenemos un pila de n tarjetas que han sido barajadas. Cada una de ellas,  en la cara que no vemos, tiene escrito un número diferente. No tenemos ninguna información sobre el rango en el que se mueven los  números de las tarjetas que pueden ir desde 1 googol hasta un pequeña fracción de la unidad. Nuestro objetivo es seleccionar la tarjeta que tiene el número mayor. Las reglas son las siguientes: hay que coger una tarjeta, darle la vuelta y observar el número que tiene escrito. En ese momento hay que decidir si se selecciona y el proceso termina, o si se tira a la papelera y se pasa a la siguiente. ¿Cómo podemos maximizar la probabilidad de escoger la tarjeta que tiene el número mayor? La estrategia es similar a la del problema anterior: descartar, una vez vistas, las ∼n/e primeras tarjetas y a continuación seleccionar la primera tarjeta que tenga un número mayor que los ya vistos. Procediendo de esta manera la probabilidad de seleccionar el número mayor  es aproximadamente 1/e, lo que implica que si se sigue esta estrategia se seleccionará el número mayor en torno al 37% de las ocasiones.

Otra aparición sorprendente

Si seleccionamos números al azar en el intervalo [0,1], ¿cuantos necesitaremos, en promedio, para que su suma supera la unidad? La respuesta es e. En el siguiente script en Python se puede ver una simulación,

Y una más

Se genera una secuencia de números al azar en el intervalo [0,1] hasta encontrar uno que sea inferior al anterior. Se cuentan los números de la secuencia incluyendo el último. Por término medio se habrán generado e números.

Primer contacto con el número e

En los libros de enseñanza media se suele introducir como la base de los logaritmos naturales y relacionándolo con una forma de remuneración de una cuenta bancaria: Supongamos que un banco ofrece un interés del 100 % al dinero que se deposite en sus cuentas y además permite ingresar o retirar dinero en cualquier momento a través de su oficina virtual electrónica . Si disponemos de 1 € y 1 año de tiempo, ¿qué cantidad como máximo podremos conseguir al final? Una manera de proceder sería ingresar el euro y esperar un año, el banco nos devolvería nuestro euro y añadiría otro de intereses, en total 2 €. ¿Se puede mejorar? Sí, si al cabo de 6 meses de haber hecho el ingreso cobramos los 0,5 € de intereses y los añadimos el euro inicial, al cabo del año estos 0,5 € que han estado medio año producirán 0,25 €, con lo que en total tendremos 2,25 €. Si continuamos con esta idea y recogemos los intereses con una frecuencia mayor, reinvirtiendo lo recibido, cada vez recibiremos una cantidad un poco mayor. En la tabla que sigue se puede ver como va aumentando lo que recibimos a medida que aumenta la frecuencia de cobro/reinversión.
nº de veces/año cantidad final
1 2,0000000
2 2,2500000
3 2,3703704
4 2,4414063
6 2,5216264
12 2,6130353
100 2,7048138
1000 2,7169239
10000 2,7181459
100000 2,7182682
1000000 2,7182805
10000000 2,7182817
100000000 2,7182818
La última cantidad de dinero recibido que aparece en la tabla 2,7182818 es el número e redondeado a 8 cifras. La forma de calcular la cantidad final que recibiremos del banco si repetimos n veces, a intervalos regulares, el proceso de reinvertir los intereses producidos es \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n  \ El número e es límite de la expresión anterior cuando n tiende a infinito \textbf{e}= \lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \ Si reinvertimos los intereses recibidos de forma continua, lo que se denomina interés compuesto, recibiremos al cabo del año e euros. Una aproximación con 40 decimales, e = 2.7182818284590452353602874713526624977572…

Otras formas de definir e

El número e se puede definir a partir de los logaritmos naturales. Primero se define la función logaritmo natural como el área bajo la hipérbola y =1/u desde u = 1 hasta u = x, o lo que es lo mismo, \ln(x) = \int\limits_1^x \frac{1}{u} \mathrm{d} u \ y e se define como el número cuyo logaritmo natural es igual a 1, \ln(e) = 1 \ a partir de la definición dada de logaritmo natural, 1 = \int\limits_1^e \frac{1}{u} \mathrm{d} u \
e es el número cuyo logaritmo natural es 1 ln(e) = 1 e es el número cuyo logaritmo natural es 1.
    Otra manera de definir e es la siguiente: Si la tangente a curva y = b^x \, cuando corta al eje y, tiene una inclinación de 45º, la base b es el número e. O lo que es lo mismo la derivada de y = b^x \ en x = 0 tiene el valor 1.
definición del número e La tangente en x = 0 tiene una inclinación de 45º

Calculando e

De entre las series y fracciones continuas que permiten calcular e, la que Isaac Newton(1642-1727) publicó 1669 es una de las más sencillas, \mathrm{e}  = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}+\dots \

La Ciencia y e

e aparece frecuentemente en todas los campos científicos especialmente en situaciones en las que la velocidad de cambio de una cierta magnitud depende del valor de dicha magnitud. A continuación algunos ejemplos,

Modelo Lotka-Volterra

Alfred J. Lotka(1880-1949) y Vito Volterra (1860-1940) de forma independiente propusieron un modelo matemático para estudiar la dinámica de sistemas en los que existe una competencia entre varias especies. Aplicado con frecuencia sistemas biológicos en los que coexisten dos especies, un depredador y una presa también tiene aplicación a otros campos como la química de reacciones oscilantes en los que en lugar de variaciones en las poblaciones de organismos vivos, se estudian las variaciones en la concentración de especies químicas que de alguna manera también compiten. En una de sus formas básicas el sistema depredador-presa se representa mediante el siguiente par de ecuaciones diferenciales, \frac{d{x}}{d{t}} = \alpha{x}-\beta{xy} \ \frac{d{y}}{d{t}} = -\gamma{y}+\delta{xy} \ x representa número de presas, y, número de depredadores, y t, tiempo. Las ecuaciones describen las variaciones temporales en las poblaciones de presas y depredadores. α, β, γ, δ son parámetros que describen el comportamientos de las especies. Representando α, capacidad de reproducción de las presas, β, capacidad de depredación de los depredadores, γ, mortalidad de depredadores y δ, capacidad de reproducción de los depredadores. Analicemos primero lo que sucedería, según el modelo, en dos situaciones particulares, la ausencia de depredadores y la ausencia de presas.
Situación 1: No hay depredadores
Si no hay depredadores la población de presas vendría descrita por, \frac{d{x}}{d{t}} = \alpha{x} \ cuya solución viene dada por la ecuación x = x_{0} \textbf{e}^{\alpha t} \ en la que x0 es la población de presas a t = 0 La población de presas, x, crece  exponencialmente. Esta forma de crecimiento en una población se denomina crecimiento Malthusiano en honor a Thomas Malthus(1766-1834) y sus teorías demográficas,
Crecimiento Exponencial
Crecimiento Exponencial Malthusiano
Situación 2: No hay presas
Si no hay presas, la población de depredadores se describe mediante, \frac{d{y}}{d{t}} = -\gamma{y} \ con solución, y = y_{0} \textbf{e}^{-\gamma t} \ en la que y0 representa la población de depredadores a t = 0) Esta forma de disminución se denomina decaimiento exponencial. La población de depredadores, y, disminuye exponencialmente hasta su desaparición.
Decaimiento Exponencial
La población disminuye decayendo exponencialmente
Situación 3: Coexisten presa y depredadores
Cuando coexisten presas y depredadores el sistema de ecuaciones diferenciales no se puede resolver analíticamente en términos de funciones elementales. Lo que si es posible es estudiar estos sistemas cualitativa y cuantitativamente y encontrar valores de α, β, γ, δ para los que a partir de valores iniciales de las poblaciones de presas y depredadores se alcanzan situaciones de equilibrio. En la figura puede verse una de estas situaciones de equilibrio en las que las poblaciones de presas y depredadores varían periódicamente.
Situación de equilibrio en un sistema depredador-presa
Sistema Lotka-Volterra. Situación de equilibrio en un sistema depredador-presa
En esta situación las poblaciones de presas y depredadores estan relacionadas por la siguiente expresión, en la que también e está presente, \frac{y^{\alpha}x^{\gamma}}{ \textbf{e}^{\beta y} \textbf{e}^{\delta x}} = \textbf{e}^{K} \ K representa una constante.

Datación por Carbono-14

Los vegetales toman constantemente carbono de la atmósfera, en forma de dióxido de carbono, y lo incorporan a sus tejidos. A través de la cadena alimenticia, este carbono está presente también en los animales. El carbono atmosférico contiene una pequeña parte de carbono radiactivo: el isótopo Carbono-14 (C-14).  El C-14 atmosférico se forma por la acción de los rayos cósmicos sobre el nitrógeno atmosférico. Mientras el vegetal está vivo, la proporción de C-14 es la misma que en la atmósfera. Cuando muere, la cantidad de C-14 disminuye paulatinamente con el tiempo debido a la desintegración radiactiva. De este modo, la proporción de C-14 en un resto de algo que en un tiempo pasado fue un ser vivo permite conocer cuanto hace que ha muerto. Qué relación hay entre la cantidad de C-14  presente en una muestra en un instante t0 y la cantidad presente cuando ha pasado un tiempo t. Una muestra radiactiva se desintegra en un proceso de decaimiento exponencial que como se ha visto más arriba quiere decir que la velocidad a la que se desintegran los átomos de la substancia en un momento dado  depende de la cantidad de átomos presentes en ese instante. Esto es lo que refleja la siguiente ecuación diferencial, \frac{d{N}}{d{t}} = -\lambda N \ N es el número de átomos C-14 presentes en un momento dado y λ es la constante de desintegración radiactiva que mide la probabilidad de que un átomo se desintegre. λ es la inversa del tiempo de vida media,τ ,que representa el tiempo medio que tarda un átomo radiactivo en desintegrarse. La solución de la ecuación diferencial anterior es, N = N_{0} \textbf{e}^{-\lambda t} \ en la que N0 representa el número de átomos cuando t = 0. Si la expresamos en función del tiempo de vida media, N = N_{0} \textbf{e}^{-\frac{t}{\tau}} \ despejando t y teniendo en cuenta que el tiempo de vida media para el C-14 es τ = 8267 años. t =8267\ln(\frac{N_0}{N}) \ Conociendo el número de átomos de C-14 que había en la muestra cuando el organismo estaba vivo(N0) y el número de átomos que hay en la actualidad (N), se puede saber el tiempo (t) que ha transcurrido.

Absorción del sonido al atravesar un medio

Cuando el sonido atraviesa un medio su intensidad disminuye ya que una parte de la energía de la onda sonora se disipa en forma de calor. La variación de la intensidad sonora, I, con la distancia, x, al atravesar el medio es proporcional a la propia intensidad , \frac{d{I}}{d{x}} = -\beta I \ La solución a la ecuación diferencial anterior viene dada por, I = I_{0} \textbf{e}^{-\beta x} \ siendo I0 la intensidad sonora al entrar en el medio y β el coeficiente de absorción que es propio de cada medio. Algo parecido sucede también con las ondas electromagnéticas como establece la ley de Beer–Lambert.

Alguna curva famosa con e en su ecuación

La catenaria

Si se cuelga una cuerda, cable o cadena entre dos puntos, adopta la forma de una curva denominada catenaria.
catenaria
Una cadena colgando entre dos puntos adopta la forma de una catenaria
La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas es, y = \frac{a(\textbf{e}^{\frac{x}{a}} +\textbf{e}^{-\frac{x}{a}} )}{2} \

La espiral logarítmica

En el crecimiento del romanesco aparece la espiral logarítmica
En el crecimiento del romanesco aparece la espiral logarítmica
La espiral logarítmica es una curva que podemos ver frecuentemente en la naturaleza. Aparece en la forma de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y otras galaxias espirales. Está también presente en la concha de muchos moluscos y vegetales como el romanesco o en el aspecto que presenta un huracán y otras formaciones atmosféricas vistas desde el espacio. Aunque Descartes la mencionó por primera vez, fue estudiada a fondo por Jacob Bernouilli que la llamó Spira mirabilis (Espiral maravillosa).
Detalle de la tumba de Bernoulli
Detalle de la tumba de Bernoulli
Este último quiso que apareciese inscrita en su tumba con el texto latino Eadem mutata resurgo (Aunque cambiada resurjo la misma), que hace referencia a que la espiral no cambia de forma aunque cambie de tamaño. El grabador que no debía tenerla a mano inscribió en su lugar una espiral de Arquímedes.
Espiral logarítmica
Espiral logarítmica
La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es, r = a \textbf{e}^{b\theta} \ en la que a y b representan dos constantes positivas.

Ramanujan y e

Y como colofón una fórmula en la que el número e aparece acompañado de otros populares colegas: 0, 1, 2, π y el número áureo, φ. En una de las cartas que  Srinavasa Ramanujan(1887-1920) envió a G.H. Hardy(1877-1947) aparecen tres fórmulas de las que Hardy dice: “Nunca había visto nada parecido. Un simple vistazo es suficiente para comprobar que únicamente podrían haber sido escritas por un matemático de la clase más alta. Deben ser ciertas porque, si no lo fueran, nadie tendría la imaginación para inventarlas”. Una de ellas es la siguiente, \frac{1}{1+\frac{\textbf{e}^{-2\pi}}{{1+\frac{\textbf{e}^{-4\pi}}{1+\dots}}}}-\left(\sqrt{2+\varphi}-\varphi\right)\textbf{e}^{\frac{2}{5}\pi}=0 \

Para saber más

  • Anisiu, M.C. 2014. Lotka, Volterra and their model. Didactica Mathematica, Vol. 32(2014), pp. 9–17.
  • Clawson, C.C. 1996.  Mathematical Mysteries. The Beauty and Magic of Numbers. Perseus Books.
  • Darling, D. 2004. The Universal Book of Mathematics. Wiley.
  • Ferguson, T. S. (1989). Who solved the secretary problem?. Statistical Science. 4 (3): 282–296.
  • Gardner, M. 1966. The game of Googol en New Mathematical Diversions. Simon and Schuster. Hay traducción al español
    • Gardner, M. 1981. Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza Editorial: El libro de bolsillo 391.
  • Gardner, M. 1969. The transcendental number e  en The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Simon and Schuster. Hay traducción al español
    • Gardner, M. 1991. El trascendental número e en El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos. Alianza Editorial: El libro de bolsillo 1549.
  • Hardy, G.H. 1959.Ramanujan; twelve lectures on subjects suggested by his life and work. Chelsea Publishing Company.
  • Maor, E. 1994.  e: The story of a number. Princeton University Press.
  • Shultz H.S. and B. Leonard. 1989. Unexpected Occurrences of the Number e. Mathematics Magazine, October 1989, Volume 62, Number 4, pp. 269–271.

Historias de matemáticos (II)

Anécdotas de Matemáticos celebres en relación con la Hipótesis de Riemann

Los propósitos de año nuevo de Hardy

G. H. Hardy (1877 – 1947) dedicó muchos de sus esfuerzos profesionales a la Hipótesis de Riemann (ver entrada anterior) tanto en solitario como en colaboraciónes con Littlewood o Ramanujan. No consiguió demostrarla pero si consiguió notables resultados como el demostrar que la función zeta tiene infinitos ceros no triviales cuya parte real es 1/2.

Se cuentan de Hardy algunas historias que muestran ese interés que durante toda su vida tuvo en la Hipótesis de Riemann. (ver Historias de matemáticos (I))

Godfrey Harold Hardy
Godfrey Harold Hardy

La necrológica que publica la revista Nature el 22 de mayo de 1948 en relación con su muerte recoge una lista de propósitos que éste había enviado a un amigo en una postal en los años 1920 con motivo del año nuevo:

  1. Demostrar la hipótesis de Riemann
  2. Hacer 211 sin estar eliminado en la cuarta entrada del último Test Match en el Oval
  3. Encontrar un argumento sobre la no existencia de Dios que convenciese al gran publico
  4. Ser el primer hombre en escalar el Monte Everest
  5. Ser proclamado el primer presidente de la USSR de Gran Bretaña y Alemania
  6. Asesinar a Mussolini

Obituaries. (1948, Mayo, 22). Prof. G.H. Hardy, F.R.S. Nature. Vol. 161. pag 798.

La Hipótesis de Riemann y el alumno de Hilbert

La hipótesis de Riemann junto con la conjetura de Goldbach constituyen el problema nº 8 de la famosa lista de 23 problemas que David Hilbert compiló para el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900.

En la pag 130 de Mathematical Circles Squared Howard Ewes cuenta la siguiente anécdota sobre David Hilbert:

David Hilbert
David Hilbert

“Hilbert tenía un alumno que un día le presentó un trabajo en el que pretendía demostrar la Hipótesis de Riemann. Hilbert que estudio el trabajo de forma minuciosa quedo impresionado por la profundidad de los argumentos; aunque desafortunadamente  encontró un error que invalidaba la demostración. Al año siguiente el alumno falleció. Los padres pidieron a Hilbert que dijese unas palabras en el funeral. Mientras los parientes y amigos del alumno se encontraban bajo la lluvia en torno a su tumba, Hilbert se adelanto. Empezó por referirse a la tragedia que representaba que una persona tan joven y con tantas capacidades falleciese antes de tener la capacidad de desarrollarlas. Pero, continuó, “… a pesar de que la demostración de la Hipótesis de Riemann de este joven contenga un error, es posible que algún día la demostración de este famoso problema se produzca siguiendo el camino que el fallecido ha indicado. De hecho”, continuó con entusiasmo, de pie en la lluvia frente a la tumba del alumno, ” sea f(z) una función de variable compleja z. Consideremos …”

Eves, Howard. 2003. Mathematical Circles: Revisited Mathematical and Circles Squared, Volume II. Publicado por: American Mathematical Society

La definición de infierno de Paul Erdös

En el libro “Absolute Zero Gravity”, Betsy Devine y Joel E. Cohen recogen una curiosa definición de infierno que Paul Erdös le cuenta a Gus Simmons mientras pasean por unos acantilados en Nuevo México:
“Para un matemático, el infierno es caer por un acantilado como este y a medio camino darse cuenta finalmente de como demostrar la Hipótesis de Riemann”

Devine, Betsy, Cohen Joel E. 1992. Absolute Zero Gravity Science jokes, quotes and anecdotes. Publicado por Simon & Schuster.

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Mañana, lunes 24 de septiembre de 2018, Michael Atiyah, renombrado matemático británico acreedor de múltiples distinciones entre las que está la Medalla Fields y el Premio Abel presenta una ponencia en el Heidelberg Laureate Forum 2018 en cuyo resumen se puede leer que incluye una prueba de la Hipótesis de Riemann

La mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en afirmar que La hipótesis de Riemann es probablemente el problema no resuelto más importante que las matemáticas tienen en la actualidad.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866) la incluyó en un trabajo de 8 páginas publicado en 1859 titulado, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada. Este trabajo fue de gran influencia sobre muchos grandes matemáticos de las generaciones que le siguieron.

A día de hoy, más de 150 años después, la hipótesis sigue sin demostración. El Instituto Clay ha establecido un premio de un millón de dolares para la primera persona que consiga demostrarla.

¿Qué dice la hipótesis de Riemann?

A diferencia de otros enunciados de teoremas famosos como el último teorema de Fermat o el teorema de los cuatro colores, la hipótesis de Riemman tiene un enunciado que resulta críptico para los no matemáticos:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a 1/2

¿Por qué es importante?

Además de tener una íntima relación con la forma en la que los números primos están distribuidos entre los enteros, la Hipótesis de Riemann está íntimamente relacionada con la naturaleza misma de la realidad física a través de la mecánica cuántica.

En lo que sigue intentaré dar un repaso a la historia de los esfuerzos realizados para comprender la naturaleza de los números primos para tratar de entender la génesis de la hipótesis de Riemann y su significado.

Números Primos

¿Qué es un número primo?

Los primos son los números enteros mayores que 1 que no tienen divisores positivos distintos de si mismos y la unidad. Los diez primeros primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Se llaman números compuestos a los enteros mayores que 1 que no son primos. Así 6 es un número compuesto ya que es divisible por 2 y por 3.

¿Por que son importantes los números primos?

Haciendo una analogía química se puede decir que los números primos son los elementos a partir de los que se construyen el resto de los números enteros. Los números enteros mayores que 1 o son primos o se pueden descomponer, de una única forma, salvo el orden, en números primos. Por ejemplo, 180, que es un número compuesto, se puede expresar como producto de números primos solo así, 2·2·3·3·5. Este hecho, llamado el teorema fundamental de la aritmética, era conocido probablemente en tiempos de Euclides ya que en los Elementos se mencionan algunas proposiciones muy relacionadas con él; sin embargo, la primera demostración completa tardó más de veinte siglos, apareció en las Disquisitiones Arithmeticae, que Gauss publicó en 1801.

¿Cuántos números primos hay?

En los Elementos de Euclides aparece la primera demostración de que los números primos son infinitos. Euclides emplea un método conocido como reducción al absurdo:

Supongamos que los números primos no son infinitos. Por tanto existe uno que es el último, pu.

Multipliquemos todos ellos y al resultado sumémosle 1,

2 · 3 · 5 · . . .  · pu+ 1

Este número no es divisible entre ninguno de los primos ya que, la división siempre da de resto 1. De lo anterior se puede deducir que o es primo o hay un primo mayor que pu que lo divide. Esta conclusión entra en contradicción con la suposición inicial de que pu es el último primo. La conclusión lógica de lo anterior es que los números primos son infinitos.

La criba de Eratóstenes

Se debe a Eratóstenes (276aC, 194 aC) un método para obtener los primos que hay hasta un número dado. Una operación de este tipo se llama criba ya que la idea es cribar los números enteros para quedarnos con los primos. El procedimiento es como sigue:

  1. Escribir en una tabla todos los enteros entre 2 y el número dado.
  2. Elegir el primer número no marcado ni tachado. (El primero es el 2). Este número es primo ya que, como no está tachado, no es divisible por ninguno de los primos anteriores.
  3. Tachar todos los múltiplos del número elegido en el paso anterior que no estén ya tachados. (Inicialmente, al elegir el 2, se tachan 4, 6, 8,…. La siguiente vez serán 9, 15, 21, …)
  4. Repetir desde el paso 2
Criba de Eratóstenes.
Autor: Sebastian Koppehel. Licencia: CC BY-SA 3.0

¿Cómo están distribuidos los primos?

¿Como aparecen los números primos distribuidos entre los enteros? ¿Hay algún orden? Veamos algunos hechos relacionados con su distribución:

Postulado de Bertrand

En su forma más elegante aunque más débil establece que siempre hay al menos un primo, p, entre un número cualquiera, n, y su doble, 2n:

n < p < 2n

Debe su nombre a Joseph Bertrand que lo comprobó para números hasta 3 millones.  Chebyshev lo demostró en 1850.

El postulado de Bertrand implica que el primo n-esimo (el que hace el numero n de la lista) siempre aparece antes de 2n

Números compuestos consecutivos sin límite

Aunque de entrada puede resultar paradójico, es fácil demostrar que es posible encontrar una lista de números enteros consecutivos tan grande como se quiera que no contenga ningún primo.

Los siguientes n números consecutivos son todos compuestos:

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ···, (n + 1)! + n+1

ya que,

(n + 1)!, que se lee factorial de n + 1 y es una forma abreviada de escribir (n + 1)·n·(n – 1)·(n – 2) ··· 3 · 2 · 1, es divisible por todos los enteros 1, 2, 3, ··· n + 1. Por tanto en la lista anterior, de n números consecutivos, todos ellos son compuestos ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, el tercero por 4 y así sucesivamente hasta el último, que es divisible por n+1.

La serie armónica

Ver entrada anterior

Producto de Euler

Euler definió la función zeta mediante la serie siguiente

\zeta (x)=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+\cdots \

x es un número real que solo puede tomar valores mayores que la unidad ya que para valores menores, la función no está definida pues la serie no tiene una suma finita. (El significado de serie, limite de una serie, suma de una serie y otros relacionados pueden verse en la entrada anterior: La serie armónica, que por otra parte es la serie que se obtiene cuando x en la función zeta toma el valor de 1).

leonhard euler
Leonhard Euler (1707-1783)

En Variae observationes circa series infinitas, trabajo publicado en 1737, Euler demostró la siguiente identidad, denominada producto de Euler,

\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod\limits_{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}} \

Si se desarrolla la parte derecha se obtiene la siguiente expresión:

\left (1-\frac{1}{2^s} \right ) \left (1-\frac{1}{3^s} \right ) \left (1-\frac{1}{5^s} \right ) \left (1-\frac{1}{7^s} \right )\cdots \

En este producto aparecen uno a uno todos los números primos.

Cuando s toma el valor 2 el producto tiene como límite el valor π²/6  y su inverso 6/π² representa la probabilidad de que dos enteros positivos, elegidos al azar, sean primos entre si. (Ver la entrada: ¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?)

El producto de Euler muestra la relación que existe entre la función zeta y los números primos. Su demostración es de una gran belleza por su simplicidad, siendo necesario únicamente para poder seguirla disponer de unos conocimientos básicos de álgebra.

A partir del producto de Euler es posible demostrar también la infinitud de los primos. Si substituimos s por 1, el termino de la izquierda representa la serie armónica, que como sabemos es divergente (Su suma no tiene límite). Esto implica que el termino de la derecha también tiene que crecer sin límite o lo que es equivalente: no hay un último primo.

El teorema de los números primos

A principios del siglo XIX Legendre, Gauss y Dirichlet entre otros estudiaron la frecuencia de aparición de los primos. Más concretamente, el número de primos menores o iguales que N, que habitualmente se representa por la función π(N). Observaron que a medida que N se hace grande el número de primos menores o iguales que N se aproxima a N/ln(N). (ln representa el logaritmo natural o neperiano) La afirmación anterior es equivalente a decir que el cociente entre ambas cantidades se aproxima a 1. En términos más matemáticos:

\lim_{N\to \infty}{\frac {\;\pi (N)\;}{\frac {N}{\ln(N)}}}=1 \

Este resultado se conoce como el teorema de los números primos

En la tabla siguiente se muestran algunos valores de π(N), N/ln(N) y su cociente que tiende a 1.

Nπ(N)N/ln(N)π(N)/(N/ln(N))
10440,92
10025221,15
10001681451,16
10000122910861,13
100000959286861,10
100000078498723821,08
100000006645796204211,07
100000000576145554286811,06
100000000050847534482549421,05
100000000004550525114342944821,05

Dos importantes consecuencias del teorema de los números primos son las siguientes:

  • La probabilidad de que N sea primo es aproximadamente igual a \frac {1}{ln(N)} \
  • El número primo que ocupa la posición N de la lista es aproximadamente Nln(N)

Aproximadamente en las afirmaciones anteriores significa que cuanto mayor sea N menor error tendrá la aproximación.

La hipótesis de Riemann

Fragmento de la primera página del trabajo de Riemann de 1859.
Toma como punto de partida el Producto de Euler que relaciona los primos con los enteros.

Como hemos visto un poco más arriba, el producto de Euler muestra la relación existente entre la función zeta y los números primos. Riemann lo utiliza como punto de partida en su trabajo de 1859 en el que aparece su hipótesis.

Riemann da un paso más que Euler. Basándose en  ciertos patrones que presenta la función zeta de Euler y utilizando una técnica matemática del análisis complejo denominada continuación analítica, extendió la definición de la función zeta de forma que se pudiese aplicar a los números complejos. Se dio cuenta de que podría demostrar el teorema de los número primos si era capaz de entender los ceros que presentaba la función zeta. O lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación

\zeta (z)=0 \

La función zeta de Riemann, la extensión de la función zeta de Euler, tiene como ceros todos los números enteros pares negativos : -2, -4, -6, …

Además de estos ceros, denominados ceros triviales, tiene multitud de ceros que son números complejos. Un número complejo se expresa de la forma a + bi. Tiene una parte real, a,  y una parte imaginaria, b, siendo i el número que al elevarlo al cuadrado es igual  -1, o lo que es lo mismo

i = \sqrt{-1} \

En el trabajo de 1859 mencionado al principio, Sobre el número de primos menores que una cantidad dada,  y haciendo uso de un profundo conocimiento de la función zeta, establece su hipótesis:

La parte real de todas los ceros no triviales de la función zeta es 1/2

Si fuese cierto, también lo sería el teorema de los números primos.

Hadamard y de la Vallée Poussin demostraron en 1896, de forma independiente el teorema de los números primos,  pero aunque usaron la función zeta de Riemann no demostraron su hipótesis.

Hoy se sabe que  la parte real de los ceros complejos de la función zeta se encuentra entre 0 y 1. Hardy, que le dedico muchos esfuerzos, consiguió demostrar en 1911 que hay infinitos ceros en los que la parte real es 1/2. (Ver la anécdota sobre Hardy y la hipótesis de Riemann). En la actualidad se conocen más de 1013 ceros no triviales de la función zeta y todos ellos tiene como parte real 1/2.

Para saber más

  • Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.
  • Davis, Philip J. y Harsh, Reuben. 1984. The Riemann Hypothesis en Mathematics: People, Problems, Results, Volumen 2. Editado por Douglas M. Campbell y John C. Higgins.  Wadsworth International.
  • Derbyshire, John. 2003. Prime Obsession . Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Joseph Henry Press
  • Devlin, Keith. 1994. Mathematics. The Science of Patterns. Scientific American Library
  • Wells, David. 2005. Prime Numbers. John Wiley & Sons, Inc.

La serie armónica

¿Qué es una serie?

En matemáticas serie infinita o simplemente serie, es la suma de una sucesión infinita de términos, (a1, a2, a3, …),

{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{2} + \cdots \.

Se puede representar de forma alternativa usando el símbolo sumatorio

\sum\limits_{i=1}^{\infty}{{a}_{i}} \.

Aunque los términos pueden ser varios tipos de entidades matemáticas vamos a centrarnos en series cuyos términos sean números reales.

Suma de una serie

Está claro que el significado del término suma no puede ser el mismo que el que usamos por ejemplo al realizar la suma 2 + 2, ya que en una serie al ser el número de sumandos infinito nunca acabaríamos de sumar, al menos en un tiempo finito.  Esta idea de sumar los términos de una serie resultó problemática para matemáticos y filósofos durante muchos siglos como  puso de manifiesto Zenón de Elea con su famosa paradoja de Aquiles y la tortuga.
En el siglo XIX los matemáticos resolvieron el problema introduciendo el concepto de límite.

Para acercarnos a la idea de límite consideremos la serie

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \.

Calculemos las sumas parciales de sus términos,
Si sumamos los 2 primeros,

1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \.

Sumando los 3 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{7}{4} \.

Sumando los 4 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = \frac{15}{8} \.

Se puede deducir fácilmente que la suma de los n primeros términos es

\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}} \

que  podemos escribir

2\left({1-\frac{1}{{2}^{n}}}\right) \.

A medida que n se hace más grande, el segundo término de la resta, \frac{1}{{2}^{n}} \, se hace  más pequeño y consecuentemente, la suma se acerca a 2.
El que la diferencia entre la suma de los n primeros términos de la serie y 2 la podamos hacer tan pequeña como queramos sin mas que aumentar el valor de n, es la idea fundamental que está detrás de la definición de 2 como límite, o suma, de la serie.

Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2
Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2

Cuando esto sucede y existe un límite se dice que la serie es convergente. Si no existe un límite como por ejemplo en la serie

1+2+3+\cdots \

la serie se denomina divergente.

La serie armónica

la serie,

\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \

recibe el nombre de serie armónica y es el resultado de sumar los inversos de los números enteros. Su nombre deriva del concepto de sobretonos o armónicos en música. La frecuencia del tono fundamental y la de los sucesivos sobretonos de una cuerda que vibra guardan una relación de 1/2, 1/3, 1/4, etc 

En torno a 1350 Nicole Oresme demostró que la serie armónica es divergente, esto es, su suma crece sin parar, no tiene límite.

Esta divergencia de la serie armónica pese a que 1/n tiende a cero a medida que n aumenta da lugar a resultados curiosos como los siguientes:

El gusano y el hilo

Josep Maria Albaigès en su divertido libro ¿Se atreve Vd. con ellos? propone 101 divertidos problemas entre los que se encuentra el que transcribo a continuación

“Imaginemos un hilo extendido rectilíneamente, de 1 km de longitud, y, en un extremo, un caracol puntual que empieza a recorrerlo a la velocidad constante de 1 mm por segundo. El hilo tiene una curiosa propiedad: al cabo de un segundo de haber empezado su recorrido el caracol, se estira instantáneamente 1 km (es decir, que al terminar el primer segundo se alarga elásticamente, de forma instantánea, hasta medir 2 km). Al terminar el 2º segundo pasa a 3 km, y así sucesivamente: a los n segundos medirá n + 1 km.

Y he aquí la pregunta, que puede sorprender: ¿llegará el caracol al final del hilo? Y, para las personas con conocimientos sólidos de análisis matemático: ¿cuánto tiempo, si es que llega al final, invertirá en ello?”

Dejo al lector que trate de deducir la respuesta a la primera pregunta. Aunque a estas alturas por lo anteriormente dicho ya la habrá adivinado.

Encontrar la respuesta a la segunda pregunta requiere como Albaigès  comenta haber realizado estudios de análisis.

Otro interesante problema en el que aparece la serie armónica es el siguiente:

La pila de libros

Si tenemos un libro, de longitud L, sobresaliendo en el borde de una mesa, en el caso límite es posible que el extremo más alejado del mismo sobresalga L/2 de la mesa.
¿Si disponemos de dos libros idénticos se puede conseguir que el punto mas alejado de la mesa esté a una distancia mayor que L/2?

La respuesta se puede deducir fácilmente si se tiene en cuenta que la condición de equilibrio es que la vertical que pasa por el centro de gravedad del conjunto pase justamente por el borde de la mesa. En el segundo caso se consigue una distancia de 0,75L

¿Cuál es la máxima distancia que se puede conseguir entre el borde de un libro y la mesa, si se dispone de libros suficientes?

Bloques Apilados.
Autor: cmglee, Anonimski.
CC BY-SA 4.0

Como uno se puede imaginar después de lo ya dicho, en la solución del problema aparece la serie armónica y su divergencia por lo que no hay límite para esa distancia. Con un número suficiente de libros, y eso si, una mesa muy resistente, podemos alejarnos la distancia que queramos.

Un análisis del problema se puede ver en Mathworld

Para saber más

La serie armónica en la Wikipedia

Albaigès, J.M., 1981. ¿Se atreve Vd con ellos? 101 Apasionantes Problemas. Barcelona: Marcombo Boixareu Editores

Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.