El ajedrez de Ray y Smull

Un poco de historia
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Número del 16 de marzo de 1981

Asimov’s Science Fiction, inicialmente denominada Isaac Asimov’s Science Fiction Magazine, es una revista estadounidense de Ciencia Ficción que se publica desde 1977.
Martin Gardner fue columnista de la revista entre 1977 y 1986. En cada columna planteaba un rompecabezas con la forma de una pequeña historia con un ambiente o personajes relacionados con la Ciencia Ficción. En la solución se resolvía el problema y se planteaba uno relacionado con el anterior que se resolvía en la segunda solución. Esta mecánica a veces se repetía hasta la cuarta solución.

En el número publicado el 16 de marzo de 1981 la columna se titulaba Chess by Ray and Smull. Dos matemáticos Ray y Smull que viajan a bordo de la nave espacial Bagel  juegan con el ordenador de abordo, VOZ, a un juego en que VOZ sitúa, aleatoriamente, las 5 figuras negras sobre un tablero de ajedrez. En la pantalla, VOZ muestra el tablero con estrellas en las 5 casillas que contienen las piezas. Ray y Smull intentan deducir la posición de las 5 piezas y para ello van preguntando a VOZ el número de piezas que amenazan ciertas casillas del tablero.

Los problemas originales

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Rompecabezas geométricos difíciles*

Se presentan tres rompecabezas en los que una idea feliz permite una resolución inmediata de los mismos

Una hormiga viajera
hormiga viajera
hormiga viajera

Una hormiga que está en el centro de la cara superior de un cubo quiere ir a un vértice de la cara inferior como se ve en la figura. Si la arista del cubo mide L = 1 ¿qué distancia mínima debe recorrer?

Una serie infinita

En un triángulo equilátero de lado L = 1 se inscribe una sucesión infinita de círculos, cada uno sobre el anterior, como se ve en la figura

Serie infinita
Serie infinita

¿Cuanto vale la suma de los diámetros de todos los círculos?

\sum\limits_{d=1}^{\infty }{{d}_{i}} = {d}_{1}+{d}_{2}+{d}_{3} + \dots = ?

Geometría euclídea

En un cuadrante de circunferencia hay inscrito un rectángulo como se ve en la figura

geometría euclídea
geometría euclídea

Determina la longitud de la diagonal AC

*Tiempo límite para resolver los 3 rompecabezas = 5 minutos

ver soluciones

¿Es posible superar la velocidad de la luz?

La respuesta a la pregunta que da título a esta entrada es sorprendentemente, SI. ¿Es una broma? No, vamos a demostrarlo.

En la figura se ve una barra inclinada cayendo, con una velocidad constante vc, con respecto a otro objeto, dibujado horizontal, en reposo.

superlumínico

A medida que la barra cae, el punto de intersección (vértice del ángulo que forman) con el objeto en reposo se mueve hacia la izquierda.

En la figura se muestra la barra que cae en dos instantes t1 y t2. En el tiempo que media entre t1 y t2 la barra cae una distancia a y el punto de intersección avanza una distancia b. En la figura a y b son los catetos del triángulo rectángulo dibujado en verde.

¿A qué velocidad se mueve el punto de intersección?

La velocidad de caída de la barra es

{v}_{c}=\frac{a}{{t}_{2}-{t}_{1}}

y la velocidad del punto de intersección

{v}_{i}=\frac{b}{{t}_{2}-{t}_{1}}

Si dividimos miembro a miembro las expresiones anteriores

\frac{{v}_{c}}{{v}_{i}}=\frac{a}{b}

y tenemos en cuenta que

\frac{a}{b} =\tan{\alpha}

podemos expresar la velocidad del punto de intersección, vi, en función de la velocidad de caída, vc, y del ángulo, α, que forman ambos objetos,

{v}_{i}=\frac{{v}_{c}}{\tan{\alpha}}

Si el ángulo es por ejemplo α = 1º y la velocidad de caída vc es 10000 km/s

{v}_{i}=\frac{10000}{\tan{1}} = 572900\text{ km/s}

La velocidad con que se mueve el punto de intersección supera la velocidad de la luz c = 300000 km/s

¿Algún problema con la Teoría de la Relatividad?

No hay ningún problema siempre que lo que se mueva sea una intersección. Si habría problema si lo que se moviese a una velocidad superlumínica fuese una partícula o un objeto como la barra que cae.
A medida que la velocidad, v, de un objeto aumenta con respecto a otro, su masa, m, medida desde un observador en este último crece según la siguiente ecuación

{m}=\frac{{m}_{0}}{{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}

c representa la velocidad de la luz y m0 la masa medida en reposo.
De la ecuación anterior se deduce que no se puede alcanzar la velocidad de la luz. A medida que v se acerca a c cuesta cada vez más acelerar al objeto ya que su masa crece sin límite.

Aunque sea perfectamente posible que la intersección, de nuestro ejemplo, se mueva más deprisa que la luz, no sería posible utilizar este hecho para transmitir información a una velocidad superior a c.

Más información

En esta entrada de la Wikipedia hay otros ejemplos de viajes superlumínicos.

Langue, V. N. 2022. Paradojas, sofismas y problemas recreativos de física. (Moscú: URSS)

¿Qué tiene que ver el número pi con el número de supervivientes?

De Morgan en A Budget of Paradoxes cuenta la siguiente anécdota:

Augustus De Morgan
Augustus De Morgan

Tuve un amigo interesado en todo lo relacionado con la mortalidad, seguros de vida, etc. Un día, explicándole cómo debería determinarse la probabilidad de que el número de supervivientes de un grupo de personas, al cabo de un cierto tiempo se encuentre entre ciertos limites, llegué, por supuesto, a la introducción de pi, que solo pude describir como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. -¡Oh, mi querido amigo! Eso debe ser un error, ¿qué tiene que ver un círculo con el número de vivos?

Definición habitual del número pi
Definición habitual del número pi

La extrañeza mostrada por el amigo de De Morgan la mostraría mucha gente ya que habitualmente se asocia el número π exclusivamente con la  relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El número π  podría definirse de otras muchas maneras ya que aparece en matemáticas en situaciones sorprendentemente diversas. A continuación se muestran algunas de ellas:

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¿Hay algún cifrado indescifrable?

Joseph Mauborgne coinventor del cuaderno de un solo uso
Joseph Mauborgne coinventor del cuaderno de un solo uso

La respuesta a la pregunta que da título a esta entrada es: sí, el cuaderno de un solo uso. El sistema lo inventaron en 1914 Joseph Oswald Mauborgne, militar de la armada norteamericana, y Gilbert Sandford Vernam, empleado de la American Telephone and Telegraph Company.

En 1949 Claude Shannon, un matemático e ingeniero norteamericano, considerado el padre de la teoría de la información, publicó Communication Theory of Secrecy Systems. En este trabajo demostró que si se cifra un texto usando un cuaderno de un solo uso, del texto cifrado no se puede obtener NINGUNA información sobre el texto original.

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