Problema imposible

 vistas de la esfera agujereada
varias vistas de la esfera taladrada

Un profesor de matemáticas le plantea el siguiente problema a un alumno de 14 años:
Se taladra un agujero cilíndrico de 6 cm de profundidad a través del centro de una esfera sólida. ¿Cuál es el volumen restante de la esfera?
El alumno piensa un rato, no más de un minuto, y da como respuesta 36π, que es la respuesta correcta.

¿Cuál fue el razonamiento del alumno, que tiene los conocimientos matemáticos que se adquieren en la enseñanza media a su edad?

Paridad: un concepto matemático simple pero poderoso

Hay ciertas ideas matemáticas como por ejemplo, la paridad que aunque simples son muy poderosas y aparecen en la solución de problemas complicados.

A continuación se expone un sencillo, aunque sorprendente, truco matemágico basado en la idea de paridad.

Efecto

El mago pide a un espectador que saque una moneda, el le da otra y le pide que:

  1. Sin que él lo vea guarde una en cada mano.
  2. Levante una mano, piense un número, se lo diga y a continuación lo multiplique por el valor de la moneda de la mano que ha levantado.
  3. Multiplique el valor de la moneda de la otra mano por un número que el mago le dice.
  4. Le diga el resultado de sumar los dos productos anteriores.

Inmediatamente el mago dice en que mano tiene cada una de las dos monedas.

Explicación

Los números enteros son o pares, divisibles por 2, o impares, no divisibles por 2. Si están representados en el sistema decimal, un número es impar si su última cifra es 1,3,5,7 o 9, y par en caso contrario.
Los números pares e impares cumplen las siguientes reglas:

Suma

par + par = par
par + impar = impar
impar + impar = par

Producto

par x par = par
par x impar = par
impar x impar = impar

  • El mago le da al espectador una moneda de distinta paridad que la que ha sacado él. (Así, por ejemplo, si el espectador saca una de 2 céntimos el mago le da por ejemplo una de 5 céntimos)
  • El mago le dice al espectador un número de distinta paridad que la del que ha dicho él. (Así, por ejemplo, si el espectador dice 87542 el número del mago podría ser 277)

Llamemos:
mi = valor de la moneda de la mano izquierda.
md = valor de la moneda de la mano derecha.
ni = número por el que se múltiplica el valor de la moneda de la mano izquierda.
nd = número por el que se múltiplica el valor de la moneda de la mano derecha.
pi = vmi x nmi (producto mano izquierda)
pd = vmd x nmd (producto mano derecha)
sf = suma final.

En la tabla se muestran los 4 casos posibles. P e I representan las paridades de los números

truco paridad con monedas

O sea que a partir de las paridades de sf, ni e nd podemos deducir en que mano esta cada moneda:

Si sf es impar, buscamos el producto impar (nd o ni) y a su lado está la mano que contiene la moneda de valor impar.

Si sf es par, buscamos el producto impar (nd o ni) y a su lado está la mano que contiene la moneda de valor par.

Si mi y/o md son elevados y al espectador se le deja una calculadora, el efecto será mayor ya que el mago, que solo se fija en la paridad de sf, sabe instantáneamente donde está cada moneda.

Dos problemas

A continuación un par de problemas que se pueden resolver rápidamente con la idea de paridad:

Problema 1

Encontrar 5 números impares cuya suma sea 20.

Problema 2
tablero ajedrez
tablero ajedrez

¿Puede un caballo de ajedrez que está en la casilla inferior izquierda del tablero ir a la casilla superior derecha pasando una sola vez por cada una de las casillas restantes?

Ver pistas

El primer libro impreso de matemática recreativa

Bachet de Meziriac
Bachet de Meziriac

Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) fue un matemático francés, estudioso de la teoría de los números,  que entre otras cosas es recordado por haber traducido del griego al latín la aritmética de Diofanto en 1621, libro en el que Fermat haría su célebre anotación al margen.

Problèmes plaisants
Problèmes Plaisants, 1612

En 1612 publica Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres [Problemas placenteros y deliciosos que se hacen con los números] que es considerado como el primer libro impreso de matemática recreativa. Reeditado y ampliado en 1624 por el mismo Bachet, ha continuado editándose hasta 1959. Puede consultarse online la primera edición de 1612 y la quinta edición de 1884 ampliada por A. Labosne (Paris: Gauthier-Villars).

La mayoría de los problemas que aparecen entre los Problèmes plaisants se repiten desde la edición original en muchos libros de matemática recreativa. Uno de los más populares es el siguiente:

  • Encontrar el menor conjunto de pesas necesario para pesar con un balanza cualquier cantidad entera del 1 al 40. Hay dos soluciones según podamos situar pesas en los dos platillos o solo en uno.

Henry Ernest Dudeney (1857-1930)

Henry Dudeney
Henry Dudeney

Henry Ernest Dudeney, nació en MayField, condado de East Sussex, en el sureste de Inglaterra el 10 de abril de 1857. Murió el 24 de abril de 1930.
Considerado el mayor creador de rompecabezas británico por la calidad y cantidad de sus creaciones, comenzó su carrera a la edad de 9 años con la publicación remunerada, en una revista infantil, de uno de sus trabajos.
Aunque la mayor parte y la que más valoraba de su producción está constituida por rompecabezas matemáticos, también creó problemas de ajedrez y juegos de palabras de los que inventó nuevas categorías.

Su trabajo apareció fundamentalmente en revistas y periódicos como  The Strand Magazine, Cassell’s Magazine, The Queen, Tit-Bits o The Weekly Dispatch. En el semanario Tit-Bits, colaboró con el americano Sam Loyd otro de gigantes de los puzles matemáticos. Durante un tiempo ambos intercambiaron rompecabezas e ideas pero Dudeney rompió la relación recriminado a Loyd que reutilizase su trabajo sin ningún tipo de reconocimiento.

Aunque autodidacta sin ninguna formación reglada, algunas de sus nuevas ideas matemáticas fueron reconocidas por la oficialidad matemática. Entre ellas están las disecciones geométricas: cortar una figura en partes que se pueden juntar para formar otra figura diferente, o los cuadrados mágicos de los que estudió una gran variedad de nuevos tipos.

Estuvo casado con Alice Whiffin, en su tiempo más famosa que su marido ya que era una popular escritora de novelas románicas.

The Canterbury Puzzles (1907) fue su primer libro al que siguieron Amusements in Mathematics (1917), The World’s Best Word Puzzles (1925), y Modern Puzzles (1926). A la muerte de Dudeney su mujer Alice con la ayuda de James Travers, un amigo de Dudeney, recogieron en dos libros Puzzles and Curious Problems (1931) y A Puzzle-Mine (sin fecha), material no publicado previamente.

Se puede encontrar más información sobre la vida de Dudeney en :

  • Newing, A. Henry Ernest Dudeney: Britain’s Greatest Puzzlist, in R. K. Guy and R. E. Woodrow (eds), The Lighter Side of Mathematics (Washington, 1994), 294-301
  • 536 Puzzles & Curious Problems es un libro, publicado por Charles Scribner’s Sons en 1967, que recoge la practica totalidad de lo publicado en  Puzzles and Curious Problems y Modern Puzzles. Martin Gardner, que está al cargo de la edición, hace en la introducción una breve reseña biográfica de Dudeney.

Algunos ejemplos de los rompecabezas de Dudeney

El problema del mercero (The Canterbury Puzzles pag. 25)

El acertijo del mercero
El acertijo del mercero

En The Canterbury Puzzles un grupo heterogéneo de peregrinos se dirigen al santuario de San Thomas Becket en Canterbury,  para entretenerse durante el camino se proponen uno a otros rompecabezas. El mercero, cuando le toca su turno, propone cortar una pieza de tela con forma de triángulo equilátero en cuatro piezas de forma que puedan juntarse de nuevo formando un cuadrado. En la animación [ver soluciones] se representa la solución dada por Dudeney que construyó en madera de ébano uniendo la cuatro piezas con bisagras de forma que con un movimiento de la mano se podía pasar de una figura a la otra.

Los espías esposados (A puzzle-Mine pag. 140)

536 Puzzles & Curious Problems
536 Puzzles & Curious Problems

En algún lugar se Francia fueron capturados nueve espías y como eran muy peligrosos fueron a prisión a la espera de juicio. Seis días a la semana, de lunes a sábado, se les sacaba a hacer ejercicio, esposados en grupos de tres.
¿Como habría que esposarlos durante los seis días de forma que dos espías solo estuviesen esposados juntos una vez durante la semana. Así por ejemplo si el lunes salen de la siguiente manera:

A-B-C
D-E-F
G-H-I

A no puede volver volver a salir esposado con B en ninguno de los dos lados, ni F con E, ni H con G, etc. Pero por supuesto A si podría estar esposado a C, o F con D.

La portada de 536 Puzzles & Curious Problems refleja este problema.

Jaque mate (Amusements in Mathematics pag. 107)

jaque mate
jaque mate

Al entrar en uno de los salones de un club de Londres, vi en un tablero de ajedrez una posición que habían dejado dos jugadores que se ya no estaban. La posición se muestra en el diagrama. Es evidente que el blanco le ha dado jaque mate al negro. Pero ¿cómo lo hizo?

Ver Soluciones

Bibliografía:

Ediciones Originales:

  • The Canterbury Puzzles. 1907. (Londres: W. Heinemann)
  • Amusements in Mathematics. 1917. (Londres: Thomas Nelson and sons)
  • The World’s Best Word Puzzles. 1925. (Londres: Daily News Publications)
  • Modern Puzzles. 1926. (Londres: C.A. Pearson)
  • Puzzles and Curious Problems. 1931. (Londres: Thomas Nelson and sons)
  • A Puzzle-Mine. 1941. (Londres: Thomas Nelson and sons)

En Amusements in Mathematics se incluyen tres pequeños ensayos: Disecciones Geométricas: pág. 27-34, laberintos y como acometerlos: pág 127-137, cuadrados mágicos 119-121.

Es relativamente fácil encontrar ejemplares de prácticamente todos libros anteriores sobre todo de los dos primeros ya que han tenido muchas ediciones y sigue publicándolos la editorial Dover.

Algunos de ellos están en el dominio público por lo que se puede acceder a versiones digitales gratuitas:

Otras Ediciones

  • 536 Puzzles & Curious Problems. 1967. (Nueva York:  Charles Scribner’s Sons)
    Cuidada edición a cargo de Martin Gardner que escribe una interesante introducción sobre Dudeney y sus rompecabezas. Incluye la práctica totalidad de  Modern Puzzles y Puzzles and Curious Problems.
  • 300 Best Word Puzzles. 1968. (Nueva York:  Charles Scribner’s Sons)
    Con una introducción de Martin Gardner recoge la práctica totalidad de The World’s Best Word Puzzles.

En español

  • El acertijo del mandarín y otras diversiones. 1993. (Madrid: Zugarto)
    [Editado por Diego Uribe contiene una selección de «Amusements in Mathematics» ]
  • Los gatos del hechicero y nuevas diversiones matemáticas. 1995. (Madrid: Zugarto)
    [Editado por Diego Uribe contiene una nueva selección de «Amusements in Mathematics» continuación de la anterior]
  • Los acertijos de Canterbury y otros problemas curiosos. 1988. (Barcelona: Granica)

Los tres libros anteriores han sido reeditados por RBA en su colección Desafíos matematicos, añadiendo una tercera selección de «Amusements in Mathematics»

Colección Desafios matematicos:

  • 2 Los acertijos de Canterbury
  • 11 El Acertijo del Mandarín (Diversiones matemáticas 1)
  • 21 Los gatos del hechicero (Diversiones matemáticas 2)
  • 30 El misterio del muelle (Diversiones matemáticas 3)

RBA también ha publicado:

  • Acertijos, desafíos y tableros mágicos. 2007 (Barcelona: RBA)
    Edición a cargo de Jaime Poniachik es una recopilación de rompecabezas tomados de Amusements in Mathematics, Modern Puzzles y Puzzles and Curious Problems

Mathematical Circles

Mathematical Circles es una colección que originalmente fue publicada en seis volúmenes en los que Howard Eves recoge 1800 historias, anecdotas y curiosidades que recorren toda la historia de las matemáticas. Para disfrutar de la mayor parte de ellas no se necesitan conocimientos matemáticos específicos.

Howard Eves(1911-2004) fue un geométra e historiador de las matemáticas americano autor de muchos artículos y libros entre los que se incluye Introduction to the History of Mathematics uno de los libros de textos más usados en la materia.

En la edición que aquí se reseña los seis volúmenes originales se agrupan en tres.

Volumen 1

EVES, Howard W. In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes: Quadrants I, II, III, and IV. The Mathematical Association of America. 2003. 368 p. ISBN: 978-0-88385-542-3

Quadrant I:

The Animal World, Real and Imaginary; Primitive Man; Pre-Hellenic Mathematics; A Few Later Chinese Stories; Thales; Pythagoras; The Pythagorean Brotherhood; Pythagoreanism; Plato; Euclid; Archimedes; Eratosthenes and Appolonius; Diophantus; The End of the Greek Period.

Quadrant II:

Hindu Mathematics; Arabian Mathematics; The Return of Mathematics to Western Europe; The Fourteenth, Fifteenth, and Sixteenth Centuries; The Episode of Cubic and Quartic Equations; François Viète; Simon Stevin, John Napier, and Henry Briggs; Thomas Harriot and William Oughtred; Galileo Galilei and Johannes Kepler; Gérard Desargues and Blaise Pascal, René Descartes and Pierre de Fermat

Quadrant III:

Some Minor Stories About Some Minor Men; Pre-Newtonian Versus Post-Newtonian Mathematics; Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz; The Bernoullis; The Small Initial Understanding of the Calculus; Bonaventura Cavalieri, Yoshida Koyu and Seri Kowa; Some Lesser Seventh- and Eighteenth-Century British Mathematicians; Some lesser Seventeenth-and Eighteenth Century Continental Mathematicians; Leonhard Euler; Lagrange; Laplace; Napoleon Bonaparte.

Quadrant IV:

Abel and Agnesi; Charles Babbage; Caryle and Legendre; Mathematicians and Nature Lovers; Clifford and Dodgson; Calculating Prodigies; Augustus de Morgan; Albert Einstein; Carl Friedrich Gauss; Some Little Men; Hamilton and Hardy; The Miscellaneous Stories; J. J. Sylvester and Norbert Wiener.

amazon.es : Mathematical Circles: Quadrants I, II, III, IV v. 1 (Mathematical Association of America)

Volumen 2

EVES, Howard W. Mathematical Circles Revisited & Mathematical Circles Squared. The Mathematical Association of America. 2003. 412 p. ISBN: 978-0-88385-543-0

Mathematical Circles Squared :

Number Reckoning; Magic Squares; Mathematically Motivated Designs; Geometry; From the American Scene; Among the English; Two Irishmen; Two Scotsmen; The Last Universalist; Croutons for the French Soup; Two Norwegians and a Russian; The Prince of Mathematicians (Gauss); Three Great Göttingen Professors; The Master (Hilbert); Further Göttingen Mathematicians; More German Mathematicians; Olla-Podrida; Printers and Books: Psychology; Addenda: Esthetics

Mathematical Circles Revisited :

Contents: Numbers and Numerals; Big Numbers; Pi; Gematria; Counting Boards; Tally Sticks; Computers; Weights and Measures; Symbols and Terminology; Arithmetic and Algebra; Geometry; Trigonometry; Probability and Statistics; Logic; Topology; From the Younger Set; Classroom Tactics and Antics; Mathematicians and Mathematics; Women of Mathematics; Wherein the Author is Involved; Nicolas Bourbaki; Archimedes to Sidney Cabin; Cauchy to Coolidge Dedekind to Gerbert; Hamilton and Hardy; Heilbronn to Hurwitz; Kasner to Lawrence; Miller to Newton; Peano to Swift; Sylvester to Whitehead; Norbert Weiner.

amazon.es : Mathematical Circles: Mathematical Circles Revisited, Mathematical Circles Squared v. 2 (Mathematical Association of America)

Volumen 3

EVES, Howard W. Mathematical Circles Adieu and Return to Mathematical Circles. The Mathematical Association of America. 2003. 404 p. ISBN: 978-0-88385-544-7.

Mathematical Circles Adieu :

Mathematics in Early America; Pierre de Fermat and René Descartes; Some Pre-Nineteenth Century Mathematicians; Carl Friedrich Gauss; Schellbach and Grassmann; Seven Mathematicians and a Poet; Charles Hermite; Lewis Carroll; A Melange: Albert Einstein; L. J. Mordell; From Our Own Times, On Mathematics and Mathematicians; Professors Teachers and Students; Lectures; Authors and Books; Definitions; Logic; On Mathematics and Logic; Counting; Numbers; Logarithms; Arithmetic; Computers; Mnemonics; The Number Thirteen; Mersenne Numbers; Business Mathematics; Probability and Statistics, Algebra; Geometry; Recreational Matters; Geometrical Illusions.

Return to Mathematical Circles:

Concerning Some Men of Mathematics; Albert Einstein; Einstein’s Theory of Relativity; Einstein and Children; Einstein’s Humor; Einstein Quotes and Comments; Lobachevski and János Bolyai; Julian Lowell Coolidge; Some More Stories about Men of Mathematics; Some Literary Snips and Bits; Sherlockiana; Poetry, Rhymes and Jingles; Computers and Calculators; Algebra; Geometry; Numbers; Probability and Statistics; Flawed Problems; Recreation Corner; Have you Heard?; Mr. Palindrome; Examples of Recreational Mathematics by the Master (Charles W. Trigg); Miscellanea. Epilogue: Some Mathematical Humor in Minute Doses; Some Bits and Tips on Teaching Mathematics; Some Logical and Some Illogical Moments.

amazon.es: Mathematical Circles: Mathematical Circles Adieu, Return to Mathematical Circles v. 3 (Mathematical Association of America)