Legislando sobre Pi

Legislando sobre Pi
Legislando sobre Pi

En 1897 la Cámara de Representantes del estado de Indiana aprobó por unanimidad el proyecto de ley nº 246 de la legislatura en cuyo preámbulo se puede leer:

«Un proyecto de ley que  presenta una nueva verdad matemática y la ofrece como una contribución a la educación que solamente podrá usar el estado de Indiana sin tener que pagar ningún tipo de derechos, siempre y cuando se apruebe en la actual legislatura de 1897

Los políticos son gente muy ocupada y ante tal ofrecimiento no vieron ninguna razón para no aceptarlo. Si hubiesen seguido leyendo quizás se hubiesen sorprendido un poco. En la sección 3 se afirmaba:

«Una prueba más del valor de la contribución propuesta por el autor a la educación, y ofrecida como regalo al Estado de Indiana, es el hecho de que sus soluciones de la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y cuadratura (del círculo) han sido aceptadas como contribuciones a la ciencia por la American Mathematical Monthly, el máximo exponente del pensamiento matemático en este país. Y recuérdese además que las instituciones científicas hace tiempo que se han rendido ante estos problemas por ser misterios insondables que están por encima de la capacidad compresora del hombre«

A lo largo del proyecto de ley en un lenguaje farragoso se pretendía cuadrar el círculo implicando con ello un nuevo valor para Pi, aunque no estaba muy claro cual era el valor correcto que su autor quería establecer ya que de su lectura se pueden deducir varios. David Singmaster, que analizó este proyecto y el trabajo que el autor del mismo envió a la revista American Mathematical Monthly encontró hasta 9 valores distintos de Pi entre ambos.

El proyecto de ley una vez aprobado siguió su camino hacia el senado donde se hubiese convertido en ley si no fuese por que, de casualidad, llegó a manos del profesor C.A. Waldo, director del departamento de matemáticas de la Universidad de Purdue, que estaba de visita en el senado gestionando la aprobación del presupuesto de su universidad. Waldo quedó asombrado por el contenido del proyecto y transmitió a los senadores su opinión sobre el mismo. Consecuentemente, el debate final del proyecto quedo pospuesto sine die.

El autor y promotor del proyecto de ley fue el médico Edwars Johnston Godwin. En 1894 apareció su trabajo, Cuadratura del círculo, en la revista American Mathematical Monthly, volumen 1 (pag. 246-247), no en la sección de artículos sino en la sección Queries and Information en la que se publicaba un batiburrillo de material que recibían los editores.

La cuadratura del círculo

El problema de la cuadratura del círculo es un problema muy antiguo:

Dado un determinado círculo construir con regla y compás un cuadrado que tenga la misma área.

En 1882 Ferdinand von Lindemann probó que Pi era un número trascendente, lo que significa literalmente que no puede ser una raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Una de las consecuencias de que Pi sea un número trascendente es que cuadrar el círculo es imposible.

Otras construcciones imposibles

Las otras construcciones clásicas con regla y compás también imposibles que se mencionan en el proyecto son:

La duplicación del cubo

Determinar con regla y compás el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado.

La trisección del ángulo

Dividir, con regla y compás, un ángulo dado en tres más pequeños del mismo tamaño.

Un ejemplo de construcción posible con regla y compás
Construcción con regla y compás
Construcción con regla y compás

Un problema soluble con regla y compás que  podemos ver en la figura adjunta es el siguiente:

Dado su lado construir, con regla y compás un hexágono regular.

Más información
  • Underwood Dudley. Mathematical Cranks. 1992.(Washingthon: The Mathematical Association of America)
  • David Singmaster. The Legal Values of Pi. The Mathematical Intelligencer, 7, no. 2 (1985), 69–72.
  • The Indiana Pi Bill 1897. Página en la web del gobierno de Indiana.
Creditos

El autor de la imagen Construcción con regla y compás es Aldoaldoz y está distribuida con una licencia CC BY-SA 3.0.

Vivimos en el fondo de un mar de aire

«Vivimos en el fondo de un mar de aire»
Evangelista Torricelli (1608-1647)

El experimento

Material

  • Una lata de refresco vacía.
  • Un recipiente con agua fría.
  • Unas pinzas para sujetar la lata.
  • Un poco de agua.
  • Una fuente de calor para calentar la lata.

¿Cómo se hace?

  1. Echamos en la lata un fondo(∼1 cm) de agua.
  2. Calentamos la lata hasta que hierva el agua y veamos claramente como sale el vapor.
  3. Metemos la lata invertida en el recipiente con agua fría

¿Qué sucede?

El aire que tenemos sobre nuestras cabezas pesa ya que es atraído, como todo lo demás, por la Tierra. Estamos acostumbrados a vivir, como decía Torricelli, en el fondo de un mar de aire y por eso no solemos ser conscientes de que sobre cada centímetro cuadrado de nuestra piel o de cualquier objeto el aire ejerce una fuerza de 1 kg-fuerza, el peso de un litro de agua. Una fuerza de 1 kg-fuerza por cada cm2 es una presión de 1 atmósfera.

La superficie exterior de la lata mide aproximadamente  350 cm2 por lo tanto el aire ejercerá sobre ella una fuerza de unos 350 kg-fuerza.

Cuando hablamos de una lata de refresco vacía lo que realmente queremos decir es que no tiene refresco ya que vacía no está pues su interior está lleno de aire. El aire del interior de la lata ejercerá también una fuerza de 350 kg-fuerza hacía el exterior.

Si somos capaces de  extraer el aire del interior, la fuerza del aire exterior ya no estará compensada y estrujará la lata ya que la fina capa de aluminio no sera capaz de impedirlo.

Al hacer hervir un poco de agua en el interior de la lata, el vapor de agua formado expulsará el aire que contiene. Cuando se introduce la lata invertida en el recipiente con agua fría se condena el vapor en unas gotas de agua líquida, quedando la lata, prácticamente vacía. La inercia del agua del recipiente que comienza ahora a llenar la lata, da tiempo a que la fuerza que ejerce el aire exterior sobre las paredes de la lata la deforme.

A tener en cuenta

Hay que asegurarse de no tener a nadie cerca al que rociemos sin querer con agua hirviendo cuando introducimos la lata en el agua fría.

 

 

 

 

Un juego de dados

dados no transitivos
En los tres dados las caras opuestas tienen los mismos números

El juego

Consideremos el siguiente juego con dados entre dos jugadores:

  • El primer jugador escoge uno de los dados de la figura adjunta y lo hace rodar.
  • El segundo jugador hace rodar uno de los dados que quedan.
  • Gana el jugador que haya sacado un número mayor.

¿Tiene ventaja alguno de los dos jugadores?

Sin analizar en detalle los dados, el sentido común parece indicarnos que la posibilidad que tiene el primer jugador de elegir entre los tres dados le da ventaja. Sorprendentemente es el segundo jugador el que siempre tiene ventaja, ganará 5 de cada 9 veces si hace la elección adecuada.

¿Donde está el truco?

Recordemos lo que es una relación transitiva con un ejemplo. Entre las personas, la relación «pesa más» es transitiva:
Dadas tres personas cualesquiera Juan, José y Pedro siempre se cumple que si Juan pesa más que José y José pesa más que Pedro entonces necesariamente Juan pesa más que Pedro.
Siguiendo con personas, una relación no transitiva sería por ejemplo: «ser padre de».

Volvamos a los dados, a pesar de lo que la intuición pueda sugerirnos, la relación «tener más probabilidad de que salga un número mayor cuando rueda» no es transitiva entre los dados de la figura, ya que:

  • la probabilidad de que en el dado rojo salga un número mayor que en el verde es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado verde salga un número mayor que en el azul es 5/9
  • la probabilidad de que en el dado azul salga un número mayor que en el rojo es 5/9

O sea que aunque la probabilidad del dado rojo es mayor que la del verde y la del verde es mayor que la del azul, la de rojo no es mayor que la del azul sino todo lo contrario.

Por tanto el segundo jugador tiene ventaja ya que siempre puede elegir un dado con probabilidad más elevada de que salga un número mayor que la del dado elegido por el primer jugador.

Más información

Martin Gardner le dedicó una columna de Mathematical Games [The Paradox of the Nontransitive Dice and the Elusive Principle of Indifference.» Scientific American 223, 110-114, Dec. 1970]. Se puede leer en :

  • Gardner, Martin. Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. 1985. (Barcelona:Labor)

Puedes encontrar más tipos de dados no transitivos y análisis detallado de la probabilidad de cada uno en :