La serie armónica

¿Qué es una serie?

En matemáticas serie infinita o simplemente serie, es la suma de una sucesión infinita de términos, (a1, a2, a3, …),

{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{2} + \cdots \.

Se puede representar de forma alternativa usando el símbolo sumatorio

\sum\limits_{i=1}^{\infty}{{a}_{i}} \.

Aunque los términos pueden ser varios tipos de entidades matemáticas vamos a centrarnos en series cuyos términos sean números reales.

Suma de una serie

Está claro que el significado del término suma no puede ser el mismo que el que usamos por ejemplo al realizar la suma 2 + 2, ya que en una serie al ser el número de sumandos infinito nunca acabaríamos de sumar, al menos en un tiempo finito.  Esta idea de sumar los términos de una serie resultó problemática para matemáticos y filósofos durante muchos siglos como  puso de manifiesto Zenón de Elea con su famosa paradoja de Aquiles y la tortuga.
En el siglo XIX los matemáticos resolvieron el problema introduciendo el concepto de límite.

Para acercarnos a la idea de límite consideremos la serie

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \.

Calculemos las sumas parciales de sus términos,
Si sumamos los 2 primeros,

1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \.

Sumando los 3 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{7}{4} \.

Sumando los 4 primeros,

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = \frac{15}{8} \.

Se puede deducir fácilmente que la suma de los n primeros términos es

\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}} \

que  podemos escribir

2\left({1-\frac{1}{{2}^{n}}}\right) \.

A medida que n se hace más grande, el segundo término de la resta, \frac{1}{{2}^{n}} \, se hace  más pequeño y consecuentemente, la suma se acerca a 2.
El que la diferencia entre la suma de los n primeros términos de la serie y 2 la podamos hacer tan pequeña como queramos sin mas que aumentar el valor de n, es la idea fundamental que está detrás de la definición de 2 como límite, o suma, de la serie.

Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2
Demostración visual: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · = 2

Cuando esto sucede y existe un límite se dice que la serie es convergente. Si no existe un límite como por ejemplo en la serie

1+2+3+\cdots \

la serie se denomina divergente.

La serie armónica

la serie,

\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \

recibe el nombre de serie armónica y es el resultado de sumar los inversos de los números enteros. Su nombre deriva del concepto de sobretonos o armónicos en música. La frecuencia del tono fundamental y la de los sucesivos sobretonos de una cuerda que vibra guardan una relación de 1/2, 1/3, 1/4, etc 

En torno a 1350 Nicole Oresme demostró que la serie armónica es divergente, esto es, su suma crece sin parar, no tiene límite.

Esta divergencia de la serie armónica pese a que 1/n tiende a cero a medida que n aumenta da lugar a resultados curiosos como los siguientes:

El gusano y el hilo

Josep Maria Albaigès en su divertido libro ¿Se atreve Vd. con ellos? propone 101 divertidos problemas entre los que se encuentra el que transcribo a continuación

«Imaginemos un hilo extendido rectilíneamente, de 1 km de longitud, y, en un extremo, un caracol puntual que empieza a recorrerlo a la velocidad constante de 1 mm por segundo. El hilo tiene una curiosa propiedad: al cabo de un segundo de haber empezado su recorrido el caracol, se estira instantáneamente 1 km (es decir, que al terminar el primer segundo se alarga elásticamente, de forma instantánea, hasta medir 2 km). Al terminar el 2º segundo pasa a 3 km, y así sucesivamente: a los n segundos medirá n + 1 km.

Y he aquí la pregunta, que puede sorprender: ¿llegará el caracol al final del hilo? Y, para las personas con conocimientos sólidos de análisis matemático: ¿cuánto tiempo, si es que llega al final, invertirá en ello?»

Dejo al lector que trate de deducir la respuesta a la primera pregunta. Aunque a estas alturas por lo anteriormente dicho ya la habrá adivinado.

Encontrar la respuesta a la segunda pregunta requiere como Albaigès  comenta haber realizado estudios de análisis.

Otro interesante problema en el que aparece la serie armónica es el siguiente:

La pila de libros

Si tenemos un libro, de longitud L, sobresaliendo en el borde de una mesa, en el caso límite es posible que el extremo más alejado del mismo sobresalga L/2 de la mesa.
¿Si disponemos de dos libros idénticos se puede conseguir que el punto mas alejado de la mesa esté a una distancia mayor que L/2?

La respuesta se puede deducir fácilmente si se tiene en cuenta que la condición de equilibrio es que la vertical que pasa por el centro de gravedad del conjunto pase justamente por el borde de la mesa. En el segundo caso se consigue una distancia de 0,75L

¿Cuál es la máxima distancia que se puede conseguir entre el borde de un libro y la mesa, si se dispone de libros suficientes?

Bloques Apilados.
Autor: cmglee, Anonimski.
CC BY-SA 4.0

Como uno se puede imaginar después de lo ya dicho, en la solución del problema aparece la serie armónica y su divergencia por lo que no hay límite para esa distancia. Con un número suficiente de libros, y eso si, una mesa muy resistente, podemos alejarnos la distancia que queramos.

Un análisis del problema se puede ver en Mathworld

Para saber más

La serie armónica en la Wikipedia

Albaigès, J.M., 1981. ¿Se atreve Vd con ellos? 101 Apasionantes Problemas. Barcelona: Marcombo Boixareu Editores

Darling David. 2004. The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.

Ladrón de Julios: encendiendo un led con una pila gastada

Una pila de 1,5 V, de las que se utilizan en dispositivos electrónicos pequeños, de tipo AA o AAA, no permite normalmente encender un led ya que casi todos necesitan tensiones superior a 2 V. Sin embargo, si utilizamos de intermediario entre pila y led un circuito conocido como Ladrón de Julios, podremos encender no uno sino muchos ledes, incluso aunque la pila esté gastada.

El experimento

Material necesario

  • 1 toroide de ferrita (valen muchos tipos)
  • 1 resistencia 1 kΩ (vale de 0,5 kΩ a 2 kΩ)
  • Unos cuantos ledes de distintos colores.
  • 1 transistor PN2222A (hay muchas alternativas posibles)
  • Cables para las conexiones y para el bobinado sobre el toroide de ferrita.
  • 1 pila AA o AAA de 1,5 V gastada y otra sin gastar para el control.
  • 1 placa de pruebas (u otra forma alternativa de hacer las conexiones)

Material para montar un Ladrón de Julios
Material para montar un Ladrón de Julios

¿Cómo se hace?

Forma de conectar los elementos del ladón de julios
Forma de conectar los elementos del ladrón de julios

A tener en cuenta

toroide con 2 bobinados
toroide con 2 bobinados

  • En el toroide hay dos bobinas superpuestas. Para crear las bobinas se usa hilo de cobre esmaltado, como el que se ve en la fotografía del material, o hilo forrado. Para un toroide como el de la foto hacen falta dos trozos de 50 cm. Una vez bobinados, si se usa hilo de cobre esmaltado, hay que lijar los extremos para eliminar el esmalte

toroide
toroide

  • Las dimensiones aproximadas del toroide utilizado son: diámetro exterior 13 mm, diámetro interior 7 mm y altura 5 mm.
  • Un portapilas o unos cables con imanes en los extremos facilitan la conexión de la pila.
  • Si se usa un transistor pnp hay que invertir la polaridad de pila y led.
  • Los ledes están conectados en serie.

¿Qué sucede?

Esquema de ladrón de julios
Esquema de ladrón de julios

Si un dispositivo alimentado por pilas deja de funcionar debido a que las pilas están gastadas no significa que estas no tengan todavía energía disponible, lo que suele significar es que la tensión que suministran las pilas ha bajado de un cierto límite que el dispositivo necesita.
El ladrón de julios es un circuito oscilante que funciona como amplificador de tensión. Transforma una tensión continua pequeña en una serie de pulsos de alta frecuencia a una tensión mayor. Consigue así aprovechar mucha energía de una pila aparentemente sin ella.
En la figura  se representa el esquema de un ladrón de julios.
En una parte del ciclo la energía de la pila se almacena en la bobina B2. En esta parte del ciclo el led está apagado. En la otra parte del ciclo la energía almacenada en la bobina B2 se disipa a través del led encendiéndolo. El transistor actúa como conmutador dando lugar a la oscilación del circuito. [En el dibujo del circuito y en el video la resistencia está entre la bobina B1 y la base mientras que en el esquema está entre B1 y la pila. Ambos circuitos son equivalentes]

Entrando un poco más en detalle:

    1. Inicialmente el transistor está en corte (al no haber corriente de base, se comporta como un interruptor abierto), no circula corriente entre colector y emisor.
    2. La pila hace que comience a pasar una pequeña corriente a través de la resistencia que, después de atravesar la bobina B1, llega a la base activando el transistor y permitiendo el paso de corriente entre colector y emisor.
    3. A medida que la corriente aumenta en la bobina B2, se induce corriente en la bobina B1 que refuerza la corriente de base abriendo más el paso a la corriente colector-emisor.
    4. El paso 3 se repite hasta que el transistor está en saturación y la corriente que atraviesa la bobina 2 y el canal colector-emisor ha llegado al máximo. En este momento hay una gran energía almacenada en el campo magnético de la bobina B2.
    5. Como la corriente no varía en la bobina B2, desaparece el efecto de inducción sobre la bobina 1 y comienza a descender la corriente que llega a la base.
    6. Al disminuir la corriente de base, el canal colector-emisor comienza a cerrarse produciendo una disminución de corriente en la bobina B2.
    7. La caída de corriente en la bobina B2 provoca que en la bobina B1 la corriente disminuya también.
    8. La repetición de los pasos 6 y 7 pone al transistor en corte.
    9. Con el transistor en corte, la energía magnética que queda almacenada en la bobina B2 provoca un pulso de corriente a través del led.
    10. Una vez que la energía de la bobina se ha disipado, todo comienza de nuevo.

Los puntos que aparecen en el símbolo de las bobinas en el esquema del circuito, indican puntos con misma polaridad instantánea.

En un ladrón de julios típico la frecuencia de funcionamiento es del orden de 50 kHz mientras que la tensión de salida puede estar en torno a los 30 V.

Un poco de historia

ladron de julios original
ladrón de julios original

En el número de noviembre de 1999 la revista Everyday Practical Electronics publicó un articulo firmado por Z. Kaparnik con el título One Volt LED-A Bright Light. Presentaba tres circuitos que permitían encender un led con una fuente de tensión mucho menor que la necesaria para encenderlo directamente. El circuito más simple de los tres presentados es el que aparece en la figura.

En palabras de Kaparnik:

In the Micro-torch circuit Fig.1a, transistor TR1, transformer T1 and resistor R1 form a current-controlled switching oscillator. Each time TR1 turns off, the collapsing magnetic field in T1 generates a 30V (off-load) positive pulse at TR1’s collector (c). This, in series with the supply, is fed directly to the LED.
Switching occurs at a very high frequency and with a low duty cycle, which results in an average LED current of about 18mA, sufficient to illuminate most LEDs.

Más información

Créditos

El primer juego de ordenador de la historia

El Ajedrecista de Leonardo Torres Quevedo, presentado en 1912, está considerado como el primer juego de ordenador de la historia. En esta entrada se puede jugar contra un programa que implementa el mismo algoritmo usado en El Ajedrecista.

El autor

Leonardo Torres Quevedo por Eulogia Merle MUNCYT
Leonardo Torres Quevedo por Eulogia Merle MUNCYT

Leonardo Torres Quevedo (1852-1936) fue un ingeniero e inventor español nacido en Santa Cruz de Iguña (Cantabria).
Dedicó la mayor parte de su vida a diseñar y elaborar una amplia variedad de inventos geniales. Por citar alguno de los que han tenido más repercusión mediática:
El telekino: un mando a distancia que utilizaba ondas electromagnéticas. El 7 de noviembre de 1905, en el puerto de Bilbao, con la asistencia del rey Alfonso XIII y una gran multitud, demostró su funcionamiento gobernando un bote desde la orilla.
Transbordadores: El Spanish Aerocar es un transbordador que cruza las cataratas del Niagara. Inaugurado en 1916, sigue en funcionamiento en la actualidad.
Ordenadores Analógicos. En estos dispositivos, un proceso matemático se transforma en un proceso físico representando los números mediante magnitudes físicas como tensiones o intensidades eléctricas, rotaciones en un eje, etc. Torres Quevedo construyó varias máquinas de este tipo, por ejemplo una que resolvía ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos.

En su artículo Ensayos de automática. Su definición . Extensión teórica de sus aplicaciones publicado en 1914 en la Revista de la Real Academia de Ciencias, presenta muchas de sus ideas sobre la realización de los autómatas. Se incluye el diseño completo de una máquina capaz de calcular a(y-z)^2 para un conjunto de valores de las variables presentes, lo que implica dispositivos electromecánicos para almacenar dígitos decimales, realizar operaciones aritméticas utilizando tablas o comparar el valor de dos cantidades. Incluso aparece por primera vez la idea de una aritmética usando coma flotante. (Ver el artículo de Randell, Brian de 1992 basado en una conferencia dada en el MIT)

El primer juego de ordenador

El Ajedrecista (2º modelo)
El Ajedrecista (2º modelo)

En 1912 Torres Quevedo presentó un autómata que jugaba al ajedrez: El Ajedrecista. Considerado el primer juego de ordenador de la historia, ganaba de forma inexorable un final de rey y torre contra rey. El autómata movía la torre y el rey blancos y el humano el rey negro.
En esta primera versión el tablero estaba dispuesto en posición vertical y el autómata detectaba los movimientos del rey blanco por unos contactos que las piezas tenían en su base. Las piezas blancas se movían usando brazos articulados. En 1920 y con la colaboración de su hijo Gonzalo diseño una versión mejorada. El tablero estaba ahora en posición horizontal, y las piezas se movían mediante electro-imanes ocultos bajo el mismo. Si detectaba que el jugador hacía trampas se encendía una luz roja y a la tercera dejaba de jugar. En un gramófono, que se ve en la fotografía en la parte superior izquierda, se oía «Jaque al rey» en cada jaque de la torre y «Mate» al final de la partida.

La posición inicial de las piezas blancas era rey en a8 y torre en h7. El jugador humano podía situar el rey negro en cualquier fila inferior a la séptima, con la única condición de que no se pusiese en jaque. Continuar leyendo «El primer juego de ordenador de la historia»

El ajedrez de Ray y Smull

Un poco de historia

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Número del 16 de marzo de 1981

Asimov’s Science Fiction, inicialmente denominada Isaac Asimov’s Science Fiction Magazine, es una revista estadounidense de Ciencia Ficción que se publica desde 1977.
Martin Gardner fue columnista de la revista entre 1977 y 1986. En cada columna planteaba un rompecabezas con la forma de una pequeña historia con un ambiente o personajes relacionados con la Ciencia Ficción. En la solución se resolvía el problema y se planteaba uno relacionado con el anterior que se resolvía en la segunda solución. Esta mecánica a veces se repetía hasta la cuarta solución.

En el número publicado el 16 de marzo de 1981 la columna se titulaba Chess by Ray and Smull. Dos matemáticos Ray y Smull que viajan a bordo de la nave espacial Bagel  juegan con el ordenador de abordo, VOZ, a un juego en que VOZ sitúa, aleatoriamente, las 5 figuras negras sobre un tablero de ajedrez. En la pantalla, VOZ muestra el tablero con estrellas en las 5 casillas que contienen las piezas. Ray y Smull intentan deducir la posición de las 5 piezas y para ello van preguntando a VOZ el número de piezas que amenazan ciertas casillas del tablero.

Los problemas originales

Continuar leyendo «El ajedrez de Ray y Smull«

Rompecabezas geométricos difíciles*

Se presentan tres rompecabezas en los que una idea feliz permite una resolución inmediata de los mismos

Una hormiga viajera

hormiga viajera
hormiga viajera

Una hormiga que está en el centro de la cara superior de un cubo quiere ir a un vértice de la cara inferior como se ve en la figura. Si la arista del cubo mide L = 1 ¿qué distancia mínima debe recorrer?

Una serie infinita

En un triángulo equilátero de lado L = 1 se inscribe una sucesión infinita de círculos, cada uno sobre el anterior, como se ve en la figura

Serie infinita
Serie infinita

¿Cuanto vale la suma de los diámetros de todos los círculos?

\sum\limits_{d=1}^{\infty }{{d}_{i}} = {d}_{1}+{d}_{2}+{d}_{3} + \dots = ?

Geometría euclídea

En un cuadrante de circunferencia hay inscrito un rectángulo como se ve en la figura

geometría euclídea
geometría euclídea

Determina la longitud de la diagonal AC

*Tiempo límite para resolver los 3 rompecabezas = 5 minutos

ver soluciones