Mathematical Circles

Mathematical Circles es una colección que originalmente fue publicada en seis volúmenes en los que Howard Eves recoge 1800 historias, anecdotas y curiosidades que recorren toda la historia de las matemáticas. Para disfrutar de la mayor parte de ellas no se necesitan conocimientos matemáticos específicos.

Howard Eves(1911-2004) fue un geométra e historiador de las matemáticas americano autor de muchos artículos y libros entre los que se incluye Introduction to the History of Mathematics uno de los libros de textos más usados en la materia.

En la edición que aquí se reseña los seis volúmenes originales se agrupan en tres.

Volumen 1

EVES, Howard W. In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes: Quadrants I, II, III, and IV. The Mathematical Association of America. 2003. 368 p. ISBN: 978-0-88385-542-3

Quadrant I:

The Animal World, Real and Imaginary; Primitive Man; Pre-Hellenic Mathematics; A Few Later Chinese Stories; Thales; Pythagoras; The Pythagorean Brotherhood; Pythagoreanism; Plato; Euclid; Archimedes; Eratosthenes and Appolonius; Diophantus; The End of the Greek Period.

Quadrant II:

Hindu Mathematics; Arabian Mathematics; The Return of Mathematics to Western Europe; The Fourteenth, Fifteenth, and Sixteenth Centuries; The Episode of Cubic and Quartic Equations; François Viète; Simon Stevin, John Napier, and Henry Briggs; Thomas Harriot and William Oughtred; Galileo Galilei and Johannes Kepler; Gérard Desargues and Blaise Pascal, René Descartes and Pierre de Fermat

Quadrant III:

Some Minor Stories About Some Minor Men; Pre-Newtonian Versus Post-Newtonian Mathematics; Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz; The Bernoullis; The Small Initial Understanding of the Calculus; Bonaventura Cavalieri, Yoshida Koyu and Seri Kowa; Some Lesser Seventh- and Eighteenth-Century British Mathematicians; Some lesser Seventeenth-and Eighteenth Century Continental Mathematicians; Leonhard Euler; Lagrange; Laplace; Napoleon Bonaparte.

Quadrant IV:

Abel and Agnesi; Charles Babbage; Caryle and Legendre; Mathematicians and Nature Lovers; Clifford and Dodgson; Calculating Prodigies; Augustus de Morgan; Albert Einstein; Carl Friedrich Gauss; Some Little Men; Hamilton and Hardy; The Miscellaneous Stories; J. J. Sylvester and Norbert Wiener.

amazon.es : Mathematical Circles: Quadrants I, II, III, IV v. 1 (Mathematical Association of America)

Volumen 2

EVES, Howard W. Mathematical Circles Revisited & Mathematical Circles Squared. The Mathematical Association of America. 2003. 412 p. ISBN: 978-0-88385-543-0

Mathematical Circles Squared :

Number Reckoning; Magic Squares; Mathematically Motivated Designs; Geometry; From the American Scene; Among the English; Two Irishmen; Two Scotsmen; The Last Universalist; Croutons for the French Soup; Two Norwegians and a Russian; The Prince of Mathematicians (Gauss); Three Great Göttingen Professors; The Master (Hilbert); Further Göttingen Mathematicians; More German Mathematicians; Olla-Podrida; Printers and Books: Psychology; Addenda: Esthetics

Mathematical Circles Revisited :

Contents: Numbers and Numerals; Big Numbers; Pi; Gematria; Counting Boards; Tally Sticks; Computers; Weights and Measures; Symbols and Terminology; Arithmetic and Algebra; Geometry; Trigonometry; Probability and Statistics; Logic; Topology; From the Younger Set; Classroom Tactics and Antics; Mathematicians and Mathematics; Women of Mathematics; Wherein the Author is Involved; Nicolas Bourbaki; Archimedes to Sidney Cabin; Cauchy to Coolidge Dedekind to Gerbert; Hamilton and Hardy; Heilbronn to Hurwitz; Kasner to Lawrence; Miller to Newton; Peano to Swift; Sylvester to Whitehead; Norbert Weiner.

amazon.es : Mathematical Circles: Mathematical Circles Revisited, Mathematical Circles Squared v. 2 (Mathematical Association of America)

Volumen 3

EVES, Howard W. Mathematical Circles Adieu and Return to Mathematical Circles. The Mathematical Association of America. 2003. 404 p. ISBN: 978-0-88385-544-7.

Mathematical Circles Adieu :

Mathematics in Early America; Pierre de Fermat and René Descartes; Some Pre-Nineteenth Century Mathematicians; Carl Friedrich Gauss; Schellbach and Grassmann; Seven Mathematicians and a Poet; Charles Hermite; Lewis Carroll; A Melange: Albert Einstein; L. J. Mordell; From Our Own Times, On Mathematics and Mathematicians; Professors Teachers and Students; Lectures; Authors and Books; Definitions; Logic; On Mathematics and Logic; Counting; Numbers; Logarithms; Arithmetic; Computers; Mnemonics; The Number Thirteen; Mersenne Numbers; Business Mathematics; Probability and Statistics, Algebra; Geometry; Recreational Matters; Geometrical Illusions.

Return to Mathematical Circles:

Concerning Some Men of Mathematics; Albert Einstein; Einstein’s Theory of Relativity; Einstein and Children; Einstein’s Humor; Einstein Quotes and Comments; Lobachevski and János Bolyai; Julian Lowell Coolidge; Some More Stories about Men of Mathematics; Some Literary Snips and Bits; Sherlockiana; Poetry, Rhymes and Jingles; Computers and Calculators; Algebra; Geometry; Numbers; Probability and Statistics; Flawed Problems; Recreation Corner; Have you Heard?; Mr. Palindrome; Examples of Recreational Mathematics by the Master (Charles W. Trigg); Miscellanea. Epilogue: Some Mathematical Humor in Minute Doses; Some Bits and Tips on Teaching Mathematics; Some Logical and Some Illogical Moments.

amazon.es: Mathematical Circles: Mathematical Circles Adieu, Return to Mathematical Circles v. 3 (Mathematical Association of America)

Móvil perpetuo

La búsqueda del móvil perpetuo ha ocupado a multitud de inventores desde hace muchos siglos como así lo atestiguan los modelos y proyectos que se conservan. Aunque actualmente sabemos que no puede existir no perdemos la esperanza de estar equivocados.

La siguiente noticia la publicó el periódico El Pais el 12/08/2008

Más cerca del hidrógeno como combustible

… Se trata de conseguir que la rotura de la molécula de agua necesite menos energía que la que el hidrógeno proporcionará después. Para ello, según han publicado en Science, Daniel Nocera y Matthew Kanan han ideado un sistema que facilita el proceso. Se trata de añadir unos catalizadores (básicamente, fosfatos, una sustancia abundante en la Tierra, y cobalto) al agua antes de aplicarle unos electrodos para romperla (es lo que se conoce como electrólisis). Así, la reacción química resulta energéticamente favorable: se gasta menos en conseguir el hidrógeno que lo que se obtiene luego al quemarlo. Además, para que todo sea más limpio, usaron energía solar para las electrólisis …

Si gastásemos menos energía en conseguir el hidrógeno a partir de la rotura de la molécula de agua de la que luego proporciona la combustión del mismo, habríamos conseguido un móvil perpetuo de primera especie, esto es una máquina que no solo funciona de forma indefinida sino que produce más energía de la que consume. Desgraciadamente esto nos lo impide el primer principio de la termodinámica (principio de conservación de la energía).

Lo que Kanan y Nocera han conseguido realmente es desarrollar unos catalizadores que permiten utilizar la energía solar de forma eficaz para descomponer el agua en hidrógeno y oxígeno.

Popular Science. Octubre de 1920
Popular Science. Octubre de 1920

La búsqueda del móvil perpetuo de primera especie ha sido muy popular a lo largo de la historia hasta épocas muy recientes. Últimamente parece que los inventores ya conocen la primera ley y su búsqueda se ha desplazado hacia el de segunda especie: una máquina que funcione indefinidamente sin consumir energía. La segunda ley de la termodinámica impide la creación de este último móvil.

A la derecha, una ilustración de Norman Rockell para la revista Popular Science que en su número de octubre de 1920 dedica su portada a la construcción del  móvil perpetuo.

Brodianski, V.M., 1990. Móvil perpetuo antes y ahora. Mir. (Moscú:1990) es un interesante libro sobre el tema que puede verse en www.librosmaravillosos.com/perpetuum/index.html

Anécdotas de Bernoulli y Rutherford

Ernest Rutherford
Ernest Rutherford

Ernest Rutherford(1871-1937) padre de la física nuclear tenía facilidad para el ingenio. De un miembro de un comité que era ineficiente dijo: “ es como un punto euclídeo, tiene posición pero no magnitud”

Wilson, David, 1993. Rutherford simple Genius. (Hodder and Stoughton, Londres)

A Rutherford le gustaba contar la siguiente anécdota: Esperando para una reunión en la universidad entabló conversación con un clérigo que era la otra persona que había en la sala. “Hola, soy Lord Rutherford”, “Hola, soy el Arzobispo de Canterbury”, contesto el clérigo antes de que de nuevo se hiciese el silencio en la sala.

A Rutherford le gustaba añadir que estaba convencido de que ninguno de los dos había creído al otro.

[Cathcart, B., 2005. The fly in the cathedral. (Londres, Penguin)]

Daniel Bernoulli por Grooth
Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli(1700-1782) físico y matemático,  especialmente recordado por sus trabajos en mecánica de fluidos, probabilidad y estadística, solía contar dos  anécdotas, que decía que le habían dado más placer que todos los honores que había recibido. Estando de viaje mantuvo una agradable conversación con un desconocido de gran sabiduría que en un momento dado le preguntó su nombre; “Soy Daniel Bernoulli”, respondió con gran humildad”; “y yo”, dijo el desconocido (que pensó que quería reírse de él) “soy Isaac Newton”. En otra ocasión en que tuvo que cenar con el celebre matemático Koenig, quien pasó parte de la cena presumiendo, con cierto grado de autocomplacencia, de que había resuelto un problema difícil después de arduo trabajo, Bernoulli continuó haciendo los honores en su mesa y cuando pasaron a tomar el café le entregó a Koenig una solución al problema más elegante que la que él había encontrado.

[Hutton, Charles, 1815. A philosophical and mathematical dictionary. London.]

Al margen de la clase

Rodríguez Annoni. Al margen de la clase.Al margen de la clase. Amenidades matemáticas. Rafael Rodríguez Annoni. Librería General, Zaragoza, 1959.

Este libro lo publicó poco después de la muerte del autor su hijo Rafael Rodríguez Vidal, catedrático de Análisis Matemático en la universidad de Zaragoza.

En 1983 Rodríguez Vidal publica lo que sería prácticamente una segunda edición de esta obra: Diversiones Matemáticas. Rafael Rodríguez Vidal. Editorial Reverté, Barcelona, 1983.
En la misma línea de esta obra Rafael Rodriguez Vidal tambien ha publicado: Cuentos y cuentas de los matemáticos (En colaboración con Mª del Carmen Rodríguez Vidal) y Emjambre Matemático.

Cuentos y cuentas de los matemáticos. Rafael Rodriguez Vidal y Mª del Carmen Rodríguez Vidal. Editorial Reverté, Barcelona, 1986.
Enjambre matemático. Rafael Rodriguez Vidal. Editorial Reverté, Barcelona, 1988.1. Pasatiempos sencillos de aritmética.

Contenido
1.1 Números pares e impares. (8)
1.2 Cálculos para revelar un número. (5)
1.3 Pasatiempos de adivinación numérica. (4)
1.4 Diversos juegos y comentarios.(9)

2. Cuestiones sobre números.
2.1 Notables números y familias numéricas. (9)
2.2 Cuestiones dependientes del sistema de numeración. (11)
2.3 Cuadrados mágicos. (2)
2.4 Los números gigantes. (10)
2.5 Arte y ciencia de contar. (8)

3. Amenidades geométricas.
3.1 Geometría al aire libre. (7)
3.2 Los comienzos de la topología. (7)

4. Cuestiones de orden y posición.
4.1 Desplazamientos dificultosos. (9)
4.2 Coordinaciones condicionadas. (5)
4.3 Otras cuestiones de ordenación. (6)

5. Paradojas, sofismas y sorpresas.
5.1 Demostraciones aritméticas falseadas. (8)
5.2 Respuestas imprevistas. (5)
5.3 Geometría y cinemática. (4)
5.4 Lógica y lenguaje. (10)

6. Silva de varia lección.
6.1 Miscelánea de problemas curiosos. (45)
6.2 Notas históricas y anecdóticas. (3)
6.3 Las matemáticas de un pequeño mundo. (2)

[Entre paréntesis el número de actividades en cada apartado]

Caminar sobre brasas: “El poder de la mente sobre la materia”

Caminando sobre brasas en Sri Lanka
Caminando sobre brasas en Sri Lanka

Caminar sobre brasas es una costumbre muy antigua en algunas culturas. Hay registros de su práctica de hace más de 3000 años. En la actualidad todavía se practica en lugares como India donde forma parte de un ritual religioso asociado a los poderes místicos de los faquires. En algunas tribus de Pakistán se utiliza como forma de juzgar a un acusado de algún delito, si sale indemne es inocente en caso contrario culpable. Otros lugares donde se practica o se ha practicado recientemente son las islas Fiji, Polinesia, Bali y Japón. Si buscamos en la web encontraremos con facilidad lugares donde se ofrece su práctica como una actividad de desarrollo personal para superar miedos y cambiar actitudes hacia determinados problemas y situaciones.

¿Es necesario estar en un estado mental especial o disponer de poderes sobrenaturales o paranormales para poder caminar sobre brasas sin quemarse? No, los principios físicos conocidos dan una explicación perfectamente razonable.

¿Por qué nos quemamos al tocar algo caliente?

Cuando tocamos algo caliente pasa calor a la piel que entra en contacto con el objeto. Ese calor produce un aumento de temperatura que puede dar lugar a cambios químicos en su estructura.

El daño en la piel del pie dependerá de la temperatura alcanzada por ésta que a su vez depende del calor transmitido por las brasas.

¿De qué depende la cantidad de calor que se transmite?

Profesor David Wiley
Profesor David Wiley
  • Las maderas, brasas y cenizas, son buenos aislantes y tienen además una capacidad calorífica baja, o sea, necesitan poco calor para calentarse y lo que aquí nos interesa, ceden el mismo poco calor cuando se enfrían.
  • Los tejidos humanos tienen una capacidad calorífica elevada debido a su gran contenido en agua. O lo que es lo mismo necesitan mucho calor para elevar su temperatura.
  • La superficie de la brasa está a alta temperatura pero la capa caliente es muy fina. (Diferencia entre temperatura y calor: las chispas de una bengala están a una temperatura muy elevada pero no queman)
  • El tiempo de contacto entre la planta del pie y las brasas es pequeño.
  • Efecto Leidenfrost (Sudor en los pies, hierba mojada).
  • Si los pies están húmedos, el agua al evaporarse absorbe parte del calor transmitido.

El calor se transmite desde las brasas al pie mediante dos mecanismos distintos:

  • Radiación: el poco tiempo de contacto y la presencia de cenizas, dificulta la transmisión por radiación.
  • Conducción:
    • la conductividad térmica de las brasas es pequeña; la de la piel, aunque unas cuatro veces mayor, es miles de veces inferior a la de los metales.
    • No todo el pie está en contacto con las brasas lo que limita la cantidad de calor transferida.

En cualquier caso es una experiencia peligrosa que no se debe intentar a menos que se sepa muy bien cómo se debe realizar. Se pueden producir quemaduras, que pueden ser graves, en los pies si por ejemplo:

  • se camina muy despacio prolongándose así el tiempo de contacto.
  • se camina muy deprisa y consecuentemente se presionan con mucha fuerza las brasas posibilitando así el contacto de la piel con las partes más calientes de las mismas.
  • hay otros objetos entre las brasas con mejor conductividad que ellas como por ej. piedras u objetos metálicos.
  • los pies están muy mojados y esto hace que las brasas se adhieran.

Más Info

Firewalking Myth vs Physics: Página del profesor David Willey.

Firewalking: Wikipedia.

Creditos
Foto: Caminando sobre brasas en Sri Lanka. Autor: Aidan Jones. Licencia: CC BY-SA 2.0
Foto: Profesor David Wiley. © David Wiley. Publicada con permiso.